Bestimmen Sie die Zahlen a, b, und c der orthogonalen Matrix.

Question

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Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Zahlen $a, b$ und $c$ der orthogonalen Matrix.
$\begin{array}{l} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll} 0.5 & a \\ b & c \end{array}\right] \quad \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rr} 0.5 & -\sqrt{0.75} \\ \sqrt{0.75} & 0.5 \end{array}\right] \text { oder } \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rr} 0.5 & -\sqrt{0.75} \\ -\sqrt{0.75} & -0.5 \end{array}\right] \\ \text { oder } \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rr} 0.5 & \sqrt{0.75} \\ -\sqrt{0.75} & 0.5 \end{array}\right] \text { oder } \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rr} 0.5 & \sqrt{0.75} \\ \sqrt{0.75} & -0.5 \end{array}\right] \end{array}$

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir bitte bei der Aufgabe helfen. ich habe die Lösung in rot geschrieben aber ich habe nix verstanden

Answer 1

Aloha :)

Eine Matrix heißt orthogonal, wenn die Transponierte $\mathbf A^T$ gleich der Inversen $\mathbf A^{-1}$ ist.

Für die gesuchte Matrix $\mathbf A$ muss also gelten:$$\mathbf A\cdot \mathbf A^T=\mathbf1\implies$$$$\left(\begin{array}{cc}0,5 & a\\b & c\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}0,5 & b\\a & c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\implies$$$$\left(\begin{array}{cc}a^2+0,25 & ac+0,5b\\ac+0,5b & b^2+c^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$

Für die Elemente auf der Nebendiagonalen muss gelten:$$ac+0,5b=0\implies2ac+b=0\implies \pink{b=-2ac}$$Für die Elemente auf der Hauptdiagonalen muss gelten:$$1=a^2+\frac14\implies \green{a^2=\frac34}$$$$1=\pink b^2+c^2=(\pink{-2ac})^2+c^2=4\green{a^2}c^2+c^2=4\cdot\green{\frac34}\,c^2+c^2=4c^2\implies\blue{c^2=\frac14}$$

Wir finden daher 4 mögliche Lösungen:

$$1)\quad a=+\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=+\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=-\sqrt{\frac34}$$

$$2)\quad a=+\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=-\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=+\sqrt{\frac34}$$

$$3)\quad a=-\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=+\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=+\sqrt{\frac34}$$

$$4)\quad a=-\sqrt{\frac34}\quad;\quad c=-\frac12\quad;\quad b=\pink{-2ac}=-\sqrt{\frac34}$$

Comments

Vielen Dank :)

Answer 2

Eine orthogonale Matrix erfüllt $QQ^T=I$. Rechne das mit $A$ nach und du erhältst Gleichungen für die Unbekannten.