Wie entwickelt man einen Graphen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f : \mathbb{R}\setminus \{-3\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x) = \frac{2x + 7}{x+3}$.
1.Zeigen Sie mithilfe der Polynomdivision, dass
$f(x) = 2 + \frac{1}{x+3}$ für alle $x \in \mathbb{R}\setminus\{-3\}$
gilt und skizziere den Graph der Funktion $f$ durch Entwicklung des Graphes der zugehörigen Grundfunktion.
2.Bestimmen Sie graphisch und analytisch alle Lösungen der Ungleichung $\frac{2x + 7}{x+3} < 1$.

1. 2x+7:(x+3) = 2+ $\frac{1}{x+3}$

 -(2x+6)

  ———————

             1

Wie skizziert man den Graphen durch Entwicklung ?

2.$\frac{2x+7}{x+3}$<1

→ $\frac{2x+7}{x+3}$ -1<0

→ $\frac{2x+7-(x+3)}{x+3}$<0

→ $\frac{x+4}{x+3}$<0 | kritische Werte bei; x=-4, x=-3

=> -4<x<-3

Das wäre meine analytische LSG.

Wie aber kann man es graphisch lösen?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich sitze an der Aufgabe und weiß besonders bei der graphischen Lsg nicht weiter. Kann mir hier jemand helfen bzw. sagen ob das bereits gerechnete richtig ist.

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Die Umformung des Funktionsterms ist klar:$$f(x)=\frac{2x+7}{x+3}=\frac{2(x+3)+1}{x+3}=\frac{2(x+3)}{x+3}+\frac{1}{x+3}=\pink{2+\frac{1}{x+3}}$$

zu 2) Die rechnerische Lösung von $f(x)<1$ könnte so aussehen:$$2+\frac{1}{x+3}<1\quad\big|-1$$$$1+\frac{1}{x+3}<0\quad\big|\text{auf den Hauptnenner bringen}$$$$\frac{x+3}{x+3}+\frac{1}{x+3}<0\quad\big|\text{Brüche addieren}$$$$\frac{x+4}{x+3}<0$$Ein Burch ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Daher untersuchen wir zwei Fälle.

1. Fall: $x+4>0\;$ und $\;x+3<0$$$\left.\begin{array}{c}x+4>0\implies x>-4\\x+3<0\implies x<-3\end{array}\right\}\implies \pink{-4<x<-3}$$

2. Fall: $x+4<0\;$ und $\;x+3>0$$$\left.\begin{array}{c}x+4<0\implies x<-4\\x+3>0\implies x>-3\end{array}\right\}\text{Es gibt kein \(x\), das beide Forderungen erfüllt.}$$

Die Funktion $f(x)$ ist also für $x\in(-4;-3)$ kleiner als $1$.

zu 3) Die zeicherische Lösung könntest du so machen.

Die Entwicklung des Graphen startet mit der Grundfunktion: $\frac1x$.

Diese wird um $3$ Einheiten nach links verschoben: $\frac{1}{x+3}$.

Anschließend wird der Graph noch um $2$ Einheiten nach oben verschoben: $2+\frac{1}{x+3}$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2+1/(x+3)f₂(x) = 1Zoom: x(-6…4) y(-8…8)

Nur für $x\in(-4;-3)$ verläuft $\blue{f(x)}$ unterhalb der Geraden $\red{y=1}$

Answer 2

Polynomdivision

(2x + 7) : (x + 3)  =  2  Rest 1 
2x + 6
———————
    1

Also

y = (2x + 7) : (x + 3) = 2 + 1/(x + 3)

Das ist die Grundfunktion

y = 1/x

die um 3 Einheiten nach links und um 2 Einheiten nach oben verschoben wurde.

Wie man dabei den Graphen y = 1/x zeichnet sollte denke ich klar sein. Wenn nicht gerne nochmals nachfragen oder auch bei Youtube nachschauen.

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/xf₂(x) = 2+1/(x+3)f₃(x) = 2x = -3

Comments

Vielen Dank. Wie aber löst man die Ungleichung graphisch? Haben sie eine Idee

Answer 3

Hallo

a) Ich denke die eine Grundfunktion ist 1/x, die verschiebt man um 3 nach links zu 1/(x+3) und dann verschiebt man sie um 2 nach oben.

b) wenn man den Graph hat, zeichnet man die Gerade y=1 und sieht, was darunter liegt

Gruß lul

Answer 4

1. 2x+7 = x+3+x+3+1

(x+3+x+3+1)/(x+3) =  1+1 +1/(x+3) = 2+ 1/(x+3)

2. Wertetabelle, Werte in ein Koordinatensystem eintragen

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%2B4%29%2F%28x%2B3%29%3C0