Welcher Grenzwert stimmt?

Question

Aufgabe:

Seien $X=\{1,2,3\}$ mit der Topologie $\mathcal{O}=\{\varnothing, X,\{1,2\},\{3\}\}$ und $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ die Folge mit $x_{n}=1$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$,
(b) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=2$,
(c) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3$.

Problem/Ansatz:

Eine Folge $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X$ konvergiert mit $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x$ genau dann, wenn es für jede offene Menge $U \subseteq X$ mit $x \in U$ ein $n_{0} \in \mathbb{N}$ gibt, sodass für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $x_{n} \in U$.

Ich verstehe nicht so ganz wie ich das jetzt behandeln soll

Answer 1

a)  Da wäre zu zeigen:

Für jede offene Menge $U \subseteq X$ mit $1 \in U$ ein $n_{0} \in \mathbb{N}$ gibt, sodass
für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $x_{n} \in U$.

Offene Mengen U mit $1 \in U$ wären:

1. U=X.  Dann ist mit xo=1 erfüllt:   Für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $x_{n} \in U$
denn es ist ja immer $x_{n} = 1$.

2. U={1,2}   .  dito

Also gilt   $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$

b)  Offene Mengen U mit $2 \in U$ wären

1. U=X. Dann ist mit xo=1 erfüllt:   Für jedes $n \geq n_{0}$ gilt: $x_{n} \in U$.

2. U={1,2}  . dito              

Also gilt   $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=2$

c) Offene Mengen U mit $3 \in U$ wäre z.B.  U={3}  .            
Aber es gibt kein no mit für alle $n \geq n_{0}$ gilt: $x_{n} \in U$.

Denn die xn sind ja immer gleich 1.

Also gilt NICHT    $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3$