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(a) Gegeben sei die Funktion f(x)=x4+4x3+2x2+12x+1 f(x)=x^{4}+4 x^{3}+2 x^{2}+12 x+1 . Bestimmen Sie eine kritische Stelle x0 x_{0} , für die f(x0)=0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 gilt.

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Aloha :)

Die Ableitung der Funktionf(x)=x4+4x3+2x2+12+1f(x)=x^4+4x^3+2x^2+12+1kannst du sicher selbst bestimmen:f(x)=4x3+12x2+4x+12f'(x)=4x^3+12x^2+4x+12Hier klammerst du die 44 aus:f(x)=4(x3+3x2+x+3)f'(x)=4\cdot(x^3+3x^2+x+{\color{blue}3})

Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms in Klammern müssen Teiler von der Zahl ohne xx sein, also von der 3\color{blue}3 am Ende. Die Teiler von 33 sind ±1\pm1 und ±3\pm3. Wir setzen diese 4 Teiler ein und finden eine Nullstelle bei x0=3\pink{x_0=-3}. Das heißt:f(3)=0f'(-3)=0

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Wie immer eine super Antwort :)

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f ' (x) = 4x3 + 12x2 + 4x + 12 = x2 ( 4x+12) +  4x + 12 = (x2+1)( 4x + 12 )

Also f '( -3) = 0.

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Vielen Dank :)

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