Taylorpolynom an stationären Stellen

Question

(a) Gegeben sei die Funktion $f(x)=x^{4}+4 x^{3}+2 x^{2}+12 x+1$. Bestimmen Sie eine kritische Stelle $x_{0}$, für die $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ gilt.
$$

Answer 1

Aloha :)

Die Ableitung der Funktion$$f(x)=x^4+4x^3+2x^2+12+1$$kannst du sicher selbst bestimmen:$$f'(x)=4x^3+12x^2+4x+12$$Hier klammerst du die $4$ aus:$$f'(x)=4\cdot(x^3+3x^2+x+{\color{blue}3})$$

Alle ganzzahligen Nullstellen des Polynoms in Klammern müssen Teiler von der Zahl ohne $x$ sein, also von der $\color{blue}3$ am Ende. Die Teiler von $3$ sind $\pm1$ und $\pm3$. Wir setzen diese 4 Teiler ein und finden eine Nullstelle bei $\pink{x_0=-3}$. Das heißt:$$f'(-3)=0$$

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Wie immer eine super Antwort :)

Answer 2

f ' (x) = 4x³ + 12x² + 4x + 12 = x² ( 4x+12) +  4x + 12 = (x²+1)( 4x + 12 )

Also f '( -3) = 0.

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Vielen Dank :)