Aufgabe:

Text erkannt:
13.1 Sei V ein K-Vektorraum mit dim(V)=7 und U,W≤V. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Falls dim(U)+dim(W)>7, so gilt dim(U∩W)>1
b) Wenn U+W=V, so ist dim(U)+dim(W)=7
c) Wenn dim(U+W)=7, so ist U+W=V
d) Sei dim(U)=2 und dim(W)=4, so ist 2≤dim(U+W)≤6
e) Es existieren U,W mit dim(U)=2 und dim(W)=4, so dass dim(U+W)=5
f) Es existieren U,W mit dim(U)=2 und dim(W)=4, so dass dim(U+W)=3 (1+1+1+1+1+1 Punkte )
Problem/Ansatz:
Bei A bin ich mir noch sehr unschlüssig ob es wahr oder falsch ist. Ich bin mir sicher , dass die Summe auf alle Fälle größer als 7 sein kann aber ob der Schnitt dann größer als 1 ist bin ich mir nicht sicher bzw weiß nicht wie ich es zeigen kann, wenn es so ist. Kann man mir dabei helfen ?

Text erkannt:
b) Wenn u+w=v, so ks dim(u)+dim(w)=7, ist wahe, denn:
() w enn u+w=v ist dim(u+w)=dim(v) also dim(u+w)=7
⇒ Nach Salz 2.2.12. ist dann 7=dim(u)+dim(ω)−dim(u∩ω)⇒dim(u)+dim(ω)=7−dim(u∩ω)
Danit dies Gceichung gilt mun dim(u∩w)=0 also u∩w={0}
da u+w=v gitt dan u∩w={0} somit ist also dim(u)+dim(ω)=7−0=7
c) wenn dum(u+w)=7,95 is u+w⋅v ist wahe deun:
(5) Nacle Salz 2.2. i2 ist dim(u)+dim(w)−dim(u∩w)−7,dadim(u+w)=7
⇒ demnach dim(u)+dim(ω)=7+dim(u∩ω)
⇒ Da dim(u)+dim(w)≤dim(v)=7 folgt dan dim(u∩w)=0
und somit u∩w={0}, d.h. u und wsinα C.u. und somit eive Basis von V, also u+w=V
d) seidim(u)=2 und dum(ω)=4, so ist 2≤dim(u+w)≤6
wach salz 2.2.12 ist dim(u)+dim(ω)−dim(u∩ω)=dim(u+ω),dadim(u)=2 und dim(ω)=4 ⇒62+u−dim(u∩ω)=dim(u+ω),dadim(u∩ω)≥0 folgr dim(u+w)≤6
und da dim(u∩w) aber max4 ist (dadim(w)=2) ist dim2≤dim(u+w)≤6
Für b, c und d habe ich entschieden, dass es wahr ist und dies wie auf dem Bild bewiesen, ist das aber so richtig?
Und für e bin ich der Meinung es ist wahr und für f denke ich ist es falsch aber hier habe ich auch nicht wirklich eine Idee, wie ich es erklären kann. Kann mir hier auch noch jemand helfen?