0 Daumen
468 Aufrufe

Aufgabe:

SmartSelect_20240115_124047_Squid.jpg

Text erkannt:

13.1 Sei V V ein K \mathbb{K} -Vektorraum mit dim(V)=7 \operatorname{dim}(V)=7 und U,WV U, W \leq V . Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Falls dim(U)+dim(W)>7 \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(W)>7 , so gilt dim(UW)>1 \operatorname{dim}(U \cap W)>1
b) Wenn U+W=V U+W=V , so ist dim(U)+dim(W)=7 \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(W)=7
c) Wenn dim(U+W)=7 \operatorname{dim}(U+W)=7 , so ist U+W=V U+W=V
d) Sei dim(U)=2 \operatorname{dim}(U)=2 und dim(W)=4 \operatorname{dim}(W)=4 , so ist 2dim(U+W)6 2 \leq \operatorname{dim}(U+W) \leq 6
e) Es existieren U,W U, W mit dim(U)=2 \operatorname{dim}(U)=2 und dim(W)=4 \operatorname{dim}(W)=4 , so dass dim(U+W)=5 \operatorname{dim}(U+W)=5
f) Es existieren U,W U, W mit dim(U)=2 \operatorname{dim}(U)=2 und dim(W)=4 \operatorname{dim}(W)=4 , so dass dim(U+W)=3 \operatorname{dim}(U+W)=3 (1+1+1+1+1+1 (1+1+1+1+1+1 Punkte ) )


Problem/Ansatz:

Bei A bin ich mir noch sehr unschlüssig ob es wahr oder falsch ist. Ich bin mir sicher , dass die Summe auf alle Fälle größer als 7 sein kann aber ob der Schnitt dann größer als 1 ist bin ich mir nicht sicher bzw weiß nicht wie ich es zeigen kann, wenn es so ist. Kann man mir dabei helfen ?

SmartSelect_20240116_170228_Squid.jpg

Text erkannt:

b) Wenn u+w=v u+w=v , so ks dim(u)+dim(w)=7 \operatorname{dim}(u)^{+} \operatorname{dim}(w)=7 , ist wahe, denn:
() w w enn u+w=v u+w=v ist dim(u+w)=dim(v) \operatorname{dim}(u+w)=\operatorname{dim}(v) also dim(u+w)=7 \operatorname{dim}(u+w)=7
\Rightarrow Nach Salz 2.2.12. ist dann 7=dim(u)+dim(ω)dim(uω)dim(u)+dim(ω)=7dim(uω) 7=\operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega) \Rightarrow \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-\operatorname{dim}(u \cap \omega)
Danit dies Gceichung gilt mun dim(uw)=0 \operatorname{dim}(u \cap w)=0 also uw={0} u \cap w=\{0\}
da u+w=v u+w=v gitt dan uw={0} u \cap w=\{0\} somit ist also dim(u)+dim(ω)=70=7 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-0=7
c) wenn dum(u+w)=7,95 \operatorname{dum}(u+w)=7,95 is u+wv u+w \cdot v ist wahe deun:
(5) Nacle Salz 2.2. i2 ist dim(u)+dim(w)dim(uw)7,dadim(u+w)=7 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w)-\operatorname{dim}(u \cap w)-7, d a \operatorname{dim}(u+w)=7
\Rightarrow demnach dim(u)+dim(ω)=7+dim(uω) \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7+\operatorname{dim}(u \cap \omega)
\Rightarrow Da dim(u)+dim(w)dim(v)=7 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w) \leq \operatorname{dim}(v)=7 folgt dan dim(uw)=0 \operatorname{dim}(u \cap w)=0
und somit uw={0} u \cap w=\{0\} , d.h. u u und wsinα w \sin \alpha C.u. und somit eive Basis von V V , also u+w=V u+w=V
d) seidim(u)=2 \operatorname{sei} \operatorname{dim}(u)=2 und dum(ω)=4 \operatorname{dum}(\omega)=4 , so ist 2dim(u+w)6 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6
wach salz 2.2.12 ist dim(u)+dim(ω)dim(uω)=dim(u+ω),dadim(u)=2 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega), \operatorname{da} \operatorname{dim}(u)=2 und dim(ω)=4 \operatorname{dim}(\omega)=4 2+u6dim(uω)=dim(u+ω),dadim(uω)0 \Rightarrow \quad \frac{2+u}{6}-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega), \operatorname{dadim}(u \cap \omega) \geq 0 folgr dim(u+w)6 \operatorname{dim}(u+w) \leq 6
und da dim(uw) \operatorname{dim}(u \cap w) aber max4 \max 4 ist (dadim(w)=2) (d a \operatorname{dim}(w)=2) ist dim2dim(u+w)6 \operatorname{dim} 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6

Für b, c und d habe ich entschieden, dass es wahr ist und dies wie auf dem Bild bewiesen, ist das aber so richtig?

Und für e bin ich der Meinung es ist wahr und für f denke ich ist es falsch aber hier habe ich auch nicht wirklich eine Idee, wie ich es erklären kann. Kann mir hier auch noch jemand helfen?

Avatar von

Da ich leider nicht weiß wie ich meinen Post bearbeiten kann, habe ich hier das Bild nochmal als Text zusammengefasst (also meinen Lösungsansatz)

Kleine Ergänzung dazu Satz 2.2.12 ist die Dimensionsformel also d.h.: Sei V K-VR mit dim(V) ist endlich und u1, u ≤ V dann gilt

dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1∩U2)

b) Wenn u+w=v u+w=v , so ist dim(u)+dim(w)=7 \operatorname{dim}(u) {+} \operatorname{dim}(w)=7 , ist wahr, denn:
wenn u+w=v u+w=v ist dim(u+w)=dim(v) \operatorname{dim}(u+w)=\operatorname{dim}(v) also dim(u+w)=7 \operatorname{dim}(u+w)=7
\Rightarrow Nach Satz 2.2.12. ist dann 7=dim(u)+dim(ω)dim(uω)dim(u)+dim(ω)=7dim(uω) 7=\operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega) \Rightarrow \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-\operatorname{dim}(u \cap \omega)
Damit diese Gleichung gilt muss dim(uw)=0 \operatorname{dim}(u \cap w)=0 also uw={0} u \cap w=\{0\}
da u+w=v u+w=v gilt ist uw={0} u \cap w=\{0\} somit ist also dim(u)+dim(ω)=70=7 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7-0=7
c) wenn dim(u+w)=7 \operatorname{dim}(u+w)=7 so ist u+w=v u+w=v ist wahr denn:
Nach Satz 2.2. 12 ist dim(u)+dim(w)dim(uw)=7,dadim(u+w)=7 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w)-\operatorname{dim}(u \cap w)=7, da \operatorname{dim}(u+w)=7
\Rightarrow demnach dim(u)+dim(ω)=7+dim(uω) \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)=7+\operatorname{dim}(u \cap \omega)
\Rightarrow Da dim(u)+dim(w)dim(v)=7 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(w) \leq \operatorname{dim}(v)=7 folgt dass dim(uw)=0 \operatorname{dim}(u \cap w)=0
und somit uw={0} u \cap w=\{0\} , d.h. u u und wsinα w \sin \alpha linear unabhängig und somit eine Basis von V V , also u+w=V u+w=V
d) seidim(u)=2 \operatorname{sei} \operatorname{dim}(u)=2 und dum(ω)=4 \operatorname{dum}(\omega)=4 , so ist 2dim(u+w)6 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6
Nach satz 2.2.12 ist dim(u)+dim(ω)dim(uω)=dim(u+ω),dadim(u)=2 \operatorname{dim}(u)+\operatorname{dim}(\omega)-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega), \operatorname{da} \operatorname{dim}(u)=2 und dim(ω)=4 \operatorname{dim}(\omega)=4 also ist 6dim(uω)=dim(u+ω),dadim(uω)06-\operatorname{dim}(u \cap \omega)=\operatorname{dim}(u+\omega),da \operatorname{dim}(u \cap \omega) \geq 0 folgt dim(u+w)6 \operatorname{dim}(u+w) \leq 6
und da dim(uw) \operatorname{dim}(u \cap w) aber max4 \max 4 ist (dadim(w)=4) (d a \operatorname{dim}(w)=4) ist dim2dim(u+w)6 \operatorname{dim} 2 \leq \operatorname{dim}(u+w) \leq 6

Die Meldung ergibt auch keinen Sinn. 1. lassen sich Rechnungen so viel besser lesen, weil kaum jemand das vernünftig und leserlich tippen kann. Das schaffen ja nicht mal die Helfer hier. Und 2. liefert die Texterkennung doch schon einiges.

1 Antwort

0 Daumen

a) Man hat U+W⊆V, aber dann jedenfalls

dim(U+W)≤7 und damit kannst du entsprechend b) argumentieren.

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage