Gleichschenkliges Dreieck. Winkel? Welchen Öffnungswinkel hat der Lichtkegel einer Taschenlampe, wenn...

Question

Folgende Aufgabe:

Welchen Öffnungswinkel hat der Lichtkegel einer Taschenlampe, wenn diese auf einer senkrecht zum Lichtkegel stehenden, 5m entfernten Wand einen Kreis vom Radius 1m erzeugt?

Das wäre ja dann ein gleichschenkeliges Dreieck oder? Ich hab versucht, die beiden Dreiecke zu teilen und am Schluss wieder das Ergebnis mal 2 zu multiplizieren.

Mein Gedanke:

a= 1

b= 5

Alpha: G/H = 1/5 = 0,2 Und dann den Sinus-¹ von 0,2 ) = 11,537, das mal zwei und Ergebnis wäre dann 23,07

Im Lösungsbuch steht aber das Alpha ca. 22,6 sein muss.

Also liege ich völlig falsch?

Dann wäre noch eine zweite Frage zu der Aufgabe:
Wie nahe muss die Taschenlampe an die Wand heranrücken, damit der Radius noch 0,5m beträgt?

An die hab ich mich jetzt gar nicht herangetraut.

Könnt ihr mir bitte helfen?
!

Answer 1

Hi,

a)

Das ist nicht der Sinus den Du brauchst, sondern der Tangens ;). Sieht ja so aus:

tan(a/2) = 1/5 = 0,2

a/2 = 11,31°

a = 22,62°

 

b)

Nun haben wir gegeben:

tan(a/2) = 0,5/x, mit a/2 = 11,31°

x = 0,5/tan(11,31°) = 2,5

 

Es muss also auf 2,5m heran rücken.

 

Grüße

Answer 2

Fertige eine Skizze an, suche ein rechtwinkiges Dreieck und rechne dann dementsprechend

An der Skizze wirst du erkennen, dass der Mittelstrahl des Lichtekegels ( 5 m ) und der Radius des Lichtkreises ( 1 m ) Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind, dessen Hypotenuse der Randstrahl des Lichtkegels ist. Dabei ist der Radius die Gegenkathete des halben Öffnungswinkels alpha / 2. 

Also gilt:

tan ( alpha / 2 ) = G / A = 1 / 5 = 0,2

<=> alpha / 2 = arctan ( 0,2 )

<=> alpha = 2 * arctan ( 0,2 ) ≈ 22,6 ° 

 

2. Aufgabe:

Der Öffnungswinkel alpha bleibt gleich. Die Gegenkathete von alpha / 2  (also der Radius des Lichtkreises) soll die Länge 0,5 m haben. Also muss für den Abstand  x ( Ankathete von alpha / 2 ) gelten:

tan ( alpha / 2 ) = G / A = 0,5 / x

<=> x = 0,5 / tan ( alpha / 2 ) = 0,5 / tan ( 11,3 ° ) ≈ 2,5 m