Beweis mit Wurzel und Potenz

Question

Wie kann ich das mit logarithmischen und exponentialen Eigenschaften beweisen?:

Text erkannt:

$z: \sqrt[k]{a^{l}}=a^{\frac{l}{k}}$

Answer 1

Da ihr das Symbol der Wurzel vorher schon hattet, gehe ich von folgender Wurzeldefinition aus, deren Existenz schon vorher bewiesen sein muss. Dies schließt auch ein, dass Potenzen mit natürlichen Exponenten schon bekannt sein sollten. Wenn dem nicht so ist, solltest du auch eure Wurzeldefinition mit angeben.

Zu jeder reellen Zahl $c\geq 0$ und jeder ganzen Zahl $k\geq 1$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl $b\geq 0$, sodass

$b^k = c \Rightarrow$. Man definiert dann $\sqrt[k]{c} = b$.

Zu zeigen ist also, dass

$\left(\sqrt[k]{a^l}\right)^k = a^l \stackrel{ \tiny{\footnotesize{zu\: zeigen}} }{=}\left(a^{\frac lk}\right)^k$

Jetzt brauchen wir $\exp$ und $\ln$:

$\left(a^{\frac lk}\right)^k = \left(\exp(\frac lk \ln a)\right)^k = exp(k \ln (\exp(\frac lk \ln a)) ) =\ldots$

$\ldots = \exp( k\cdot \frac lk \ln a ) = \exp(l\ln a) = a^l$

Dieser Beweis benutzt implizit, dass die herkömmliche Potenz $a^l$ mit natürlichem Exponenten $l$ dasselbe ist, wie $\exp(l\ln a)$. Das müsste man genaugenommen auch noch zeigen.

Comments

Danke sehr!

Achso das mit a^l = exp(l* ln(a)) stand tatsächlich als Definition in der Aufgabenstellung, müsste ich es dann trotzdem zeigen, oder kann ich es als eine wahre gegebene Informationen beteachten?

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Ich beziehe mich auf natürliche $l$, d.h., auf die üblichen Potenzen $a^1, a^2,a^3, \ldots$

Da ich nicht weiß, wie dein Skript aufgebaut ist, kann ich auch nicht sagen, ob man die Aussage $a^l = \exp(l\cdot \ln a)$ für natürliches $l$ als gegeben betrachten kann.

Wenn man aber schon weiß, dass $\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$ ist, kann man das schnell per Induktion zeigen.

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Ich habe es mal so gezeigt:

a^l = exp(ln(a^l))    das gilt ja unabhängig von dem anderen, da exp(ln) sich aufhept.

Weiterhin gilt:

exp(ln(a^l)) = exp(ln(a * … * a))  (das a l mal potenziert).

Nun weiss man das ln(xy) = ln(x) + ln(y) ist (Beweis: ln(xy) = ln(x) + ln(y) <=> exp(ln(xy)) = exp(ln(y) + ln(x)) <=> exp(ln(xy)) = xy = exp(ln(y))exp(ln(x)).)

Daher kann man jetzt exp(ln(a*…*a)) umschreiben in: exp(ln(a*…*a)) = exp(ln(a) + … + ln(a)) und nun ist das ja einfach l mal ln(a), also exp(ln(a) + … + ln(a)) = exp(l * ln(a))

und das war ja zu zeigen.

Ist das so ausreichend?

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Find ich gut, dass du das voll durchgezogen hast.

Es ist meines Erachtens völlig ausreichend, aber etwas umständlich und es nutzt ebenfalls implizit $\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y) (\star)$ in deinem Beweis, dass $\ln(xy) = \ln x + \ln y$.

Per Induktion bekommt man mit $(\star)$ ruckizucki

$a^{l+1} = a^l\cdot a = \exp(l\ln a)\exp(\ln a) \stackrel{(\star)}{=}\exp((l+1)\ln a)$.

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Okay dankeschön :)

Answer 2

Ich meine das ist eher eine Definition als etwas was man beweisen kann.

Comments

Nach Aufgabe, soll ich es halt beweisen. Ich verstehe es auch nicht, was das soll. Das ist halt ne Definition und daher intuitiv, was soll man da beweisen

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Was wurde denn in der Vorlesung dazu definiert?

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Wir haben nur die Info, das ln (Natürlicher Logarithmus) die Umkehrfunktion von exp (e^x) ist und das

n^k := exp(ln(n)*k) ist. Mit den Eigenschaften sollen wir das beweisen.