Integral mit Bruchfunktion lösen: f(x) = (x+1)/(x-1)

Question

ich hab mal eine frage zu dieser aufgabe: ∫ x+1 / x-1  ich weiß, dass ich das auch so schreiben kann : x+1 * 1/ x-1 so meine frage lautet jetzt wie muss ich hier weiterrechnen? ich vermute das ich erst die produktregel anwernden muss und anschließend ganz normal integrieren muss oder???

Answer 1

Hi,

splitte den Bruch (Polynomdivision):


$$\frac{x+1}{x-1} = 1+\frac{2}{x-1}$$

Dann ergibt sich:

$$\int 1 dx + 2\int\frac{1}{x-1} dx = x + 2\ln(x-1) + c$$


Mehr ist es nicht^^.


Grüße

Comments

ich hab die polynomdivision gemacht und hab 1-2/x-1 raus. wie kommt man auf 1dx+2∫

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Da hast Du Dich dann vertan ;).


(x  + 1) / (x - 1)  =  1   R  2
-(x  - 1)
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      2

Das ist ein positiver Rest, also 1 + 2/(x-1)

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danke das sie mich aufgeklärt haben ich sitze schon seit paar stunden an dieser aufgabe :) dann haben sie höchstwahrscheinlich 1 +2/ x-1   *1/(x-1) gerechnet oder?? und warum muss ich nur 1dx setzen?? meine vermutung ist das 2 unabhängig der 1 ist oder irre ich mich

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Nein,

ich habe die ursprüngliche Funktion f(x) in zwei Summanden aufgeteil. In 1 und in 2/(x-1). Dann sollte Dir bekannt sein, dass Du summandenweise integrieren darfst. Genau das habe ich getan :).

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hmmm dieses summandenweise integriren hör ich zum erstenma ich recherchiere mal schnell

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Hast Du mit Sicherheit schon einmal gehört! Das ist eine absolute Grundregel ;).


https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung#Axiomatischer_Zugang


Hier bei "Linearität".

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also die summandenweise integration besagt : int(a+b)dx=int(a)dx+int(b)dx und einfach die werte einsetzsen oder??

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Genau ;)     .

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dann lautet ja das ergebnis 1dx+2/(x-1)dx rechnen dann kommt da x+2ln(x-1) richtig soo??

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Genau so ist es :).

(Integralzeichen halt noch)

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endlcih ich bin der glücklichste mensch auf der welt und sie der beste mathe lehrer :)

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Haha, da bin ich ja mit beidem zufrieden :D.

Answer 2

∫ (x + 1) / (x - 1) dx

= ∫ (x - 1 + 2) / (x - 1) dx

= ∫ (x - 1) / (x - 1) + 2 / (x - 1) dx

= ∫ 1 + 2 / (x - 1) dx

= x + 2 *LN(x - 1)