Reihe auf Konvergenz untersuchen, wie?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (1)^n\frac{2}{\sqrt{n}}$$

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich hier vorgehen soll. Mir sind die Konvergenzkriterien bekannt, ich weiß aber immer überhaupt nicht wie ich an das ganze herangehen soll. Egal welches Kriterium ich ausprobiere, ich weiß immer nicht wie ich weitermachen soll. Hat jemand vielleicht allgemeine Tipps?

Comments

Sicher, dass in der Klammer nur eine 1 steht und nicht (-1)?

So macht die Klammer keinen Sinn...

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Ja, so ist die Aufgabe. :/

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vgl:

https://www.mathelounge.de/444828/reihe-1-sqrt-n-konvergent-oder-div…

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum%28-1%29%5En*2%2Fn%5E0.5+fro…

2 kannst du vor die Summe ziehen.

Answer 1

Aloha :)

Nach dem Leibniz-Kriterium reicht für die Konvergenz einer alternierenden Summe $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n$ aus, dass die Folge $(a_n)$ eine monotone Nullfolge ist.

$$\sqrt{n+1}>\sqrt n\implies\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt n}\implies\frac{2}{\sqrt{n+1}}<\frac{2}{\sqrt n}\implies a_{n+1}<a_n$$

Die Folge $(a_n)$ ist also streng monoton fallend. Dass $(a_n)$ gegen Null konvergiert sollte klar sein.

Daher konvergiert die angegebene Summe.

Falls in der Klammer keine $(-1)$, sondern eine $1$ steht, divergiert die Summe, denn:$$\sqrt n\le n\implies\frac{1}{\sqrt n}\ge\frac1n\implies\sum\limits_{n=1}^\infty(1)^n\frac{2}{\sqrt n}=2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt n}\ge2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$Dass die harmonische Reihe divergiert, war sicher in der Vorlesung dran ;)