Wie berechnet man allgemein Tangentialhyperebenen?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man allgemein Tangentialhyperebenen? Ich weiß nur wie man Tangentialebenen berechnet. Helfen würde mir eine Formel und die einzelnen Schritte, die ich gehen muss, um sie zu berechnen. Danke schonmal im Voraus:)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Tangente einer Funktion $f(x)$ im Punkt $x_0$ lautet:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, also von $\vec x=(x_1;x_2;\ldots;x_n)$, wird aus der Tangente eine Hyperebene, aus den Variablen werden Vektoren und aus der Ableitung wird der Gradient:$$h(\vec x)=f(\vec x_0)+\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot(\vec x-\vec x_0)$$

Wir machen mal ein Beispiel. Die Hyperebene an die Funktion$$f(x_1;x_2)=x_1^2x_2$$an der Stelle $\vec x_0=(1;2)$ lautet:

$$h(\vec x)=f(1;2)+\binom{2x_1x_2}{x_1^2}_{(x_1;x_2)=(1;2)}\cdot\left(\binom{x_1}{x_2}-\binom{1}{2}\right)$$$$\phantom{h(\vec x)}=2+\binom{4}{1}\cdot\binom{x_1-1}{x_2-2}=2+4(x_1-1)+(x_2-2)$$$$\phantom{h(\vec x)}=4x_1+x_2-4$$