Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem dazugehörigen Funktionsgraphen und der Ortskurve!

Question

Im Folgenden sei k = 0,25. Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem dazugehörigen Funktionsgraphen und der Ortskurve! [Hinweis: Sie dürfen hier für ein mögliches Integral ohne Bestimmung einer Stammfunktion den Taschenrechner benutzen.

Meine Funktion ist  fk mit fk (x) = x² • e^kx.

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https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wen…

Answer 1

Hallo,

berechne zunächst die Extrempunkte von \(f_k(x)\) und dann die Ortskurve.

Zur Kontrolle:

\(f'_k(x)=e^{kx}\cdot (2x+kx^2)\\H\bigg(-\frac{2}{k}\mid\frac{4}{k^2}\cdot e^{-2}\bigg)\quad T(0\mid 0)\)

Ortskurve: \(g(x)==x^2\cdot e^{-2}\)

Berechne die Integralgrenzen = x-Koordinaten der Schnittpunkte von \(f_{0,25} \text{ und }g(x)\)

\(f_{0,25}(x)=x^2\cdot e^{0,25x}\)

\(x^2\cdot e^{0,25x}=x^2\cdot e^{-2}\Rightarrow x_1=-8\quad x_2=0\)

Dann benutze deinen Taschenrechner, um das \(\int \limits_{a}^{b}x^2\cdot e^{0,25x}-x^2\cdot e^{-2}\;dx\) zu berechnen.

Gruß, Silvia

Comments

Das minus bei der zwei steht bei mir oben im Nenner mit drinne und nicht davor. Ist es trotzdem das gleiche oder macht es einen unterschied? Vielen Dank für die ausführliche Beantwortung

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Oben ist in der Regel der Zähler und unten der Nenner, also ist "oben im Nenner" ein Widerspruch ;-)

Aber ob \(-\frac{2}{k}\text{ oder }\frac{-2}{k}\) macht hier keinen Unterschied.

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Vielen vielen Dank! Kannst du mir nochmal erklären, wie du auf die Ortskurve gekommen bist? Ich hab sie auch schon berechnet, aber irgendwie stimmt es mit deinem Ergebnis nicht überein.

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Der Extrempunkt in Abhängikeit von k hat die Koordinaten \(\bigg(-\frac{2}{k}|\frac{4}{k^2}\cdot e^{-2}\bigg)\).

Die x-Koordinate löse ich nach k auf \(x=-\frac{2}{k}\Rightarrow k=-\frac{2}{x}\)

Dieses Ergebnis setze ich für k in die y-Koordinate ein und daraus ergibt sich die Ortskurve:

\(y=\frac{4}{\big(-\frac{2}{x}\big)^2}\cdot e^{-2}=\frac{4}{\frac{4}{x^2}}\cdot e^{-2}=x^2\cdot e^{-2}\)

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Vielen vielen Dank! Kannst du mir nochmal erklären, wie du auf die Ortskurve gekommen bist? Ich hab sie auch schon berechnet, aber irgendwie stimmt es mit deinem Ergebnis nicht überein.

Du hast immer nur "Ortskurve" geschrieben. Geht es überhaupt um die Ortskurve der Extrempunkte??? Auch die Wendepunkte haben eine Ortskurve...

Answer 2

1. Bestimme die Gleichung y=g(x) der Ortskurve (notfalls im Kommentar nachfragen).

2. Setze g(x)=f_2,5(x) um die Integrationsgrenzen a und b zu erhalten.

3. Berechne \( \int\limits_{a}^{b} \) g(x)-f_2,5(x) dx.