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Aufgabe

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zufallsgröße
X, die die nebenstehende Wahrscheinlichkeits-verteilung hat.


k-100510
P(X=k)1/41/61/21/12

Nr.2

Die Zufallsgröße X gibt den Gewinn inEuro bei einem Glücksspiel mit Einsatz 1 € an.
Die Tabelle gibt ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung an.






g-1014
P(X=g)2/31/61/101/15

a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.
b) Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
c) Ändern Sie die maximale Auszahlung so ab, dass das Spiel bei einem Einsatz von 1 € fair

Problem/Ansatz
Ich bräuchte bitte Hilfe für die Bearbeitung der Aufgaben und bin jeder Hilfe dankbar

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Bei der zweiten Aufgabe fehlen mir Informationen über das Gewinnspiel.

Wie lautet die Aufgabe vollständig?

Da fehlt nichts.

Doch, da feht was, du hast es nur noch nicht gemerkt.

Ich kann es ohne Probleme durchrechnen. Weiß nicht, was dein Problem ist.

3 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

zu 1) Bestimme den Mittelwert \(\left<k\right>\) der \(k\)-Werte und den Mittelwert \(\left<k^2\right>\) der Quadrate der \(k\)-Werte:$$\left<k\right>=\frac14\cdot(-10)+\frac16\cdot0+\frac12\cdot5+\frac{1}{12}\cdot10=\frac56$$$$\left<k^2\right>=\frac14\cdot(-10)^2+\frac16\cdot0^2+\frac12\cdot5^2+\frac{1}{12}\cdot10^2=\frac{275}{6}$$

Für Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) gilt nun:$$\mu=\left<k\right>=\frac56\quad;\quad\sigma^{\pink2}=\left<k^2\right>-\left<k\right>^{\pink2}=\frac{250}{6}\implies\sigma=\sqrt{\frac{250}{6}}=\frac{5\sqrt{15}}{3}$$Achte bei der Formel für die Standardabweichung auf die beiden pinken Quadrate!


zu 2) In der Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung sind wir ja nun schon geübt:$$\left<g\right>=\frac23\cdot(-1)+\frac16\cdot0+\frac{1}{10}\cdot1+\frac{1}{15}\cdot4=-\frac{3}{10}$$$$\left<g^2\right>=\frac23\cdot(-1)^2+\frac16\cdot0^2+\frac{1}{10}\cdot1^2+\frac{1}{15}\cdot4^2=\frac{11}{6}$$

Für Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) gilt nun wieder:$$\mu=\left<g\right>=-\frac{3}{10}\quad;\quad\sigma^{\pink2}=\left<g^2\right>-\left<g\right>^{\pink2}=\frac{523}{300}\implies\sigma=\sqrt{\frac{523}{300}}\approx1,3204$$

Leider schreibst du nicht, wie das Spiel funkioniert. Ich vermute, dass die Teilnahme an einem 1€ kostet, den man mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac23\) verliert, daher die \((-1)\). Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac16\) gewinnt man 1€ und hat dann abzüglich des Einsatzes 0€ erhalten. Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{10}\) gewinnt man 2€ und erhalt unter dem Strich 1€ zurück. Mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{15}\) gewinnt man 5€, macht abzüglich des Einsatzes dann 4€.

Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert Null sein:$$0\stackrel!=\left<g\right>=\frac23\cdot E+\frac16\cdot0+\frac{1}{10}\cdot1+\frac{1}{15}\cdot4=\frac23E+\frac{11}{30}\implies E=-0,55$$Für ein faires Spiel müsste der Einsatz also \(55ct\) betragen.

Bleibt der Einsatz bei \(1€\) und soll der maximale Gewinn so angepasst werden, dass das Spiel fair ist, muss gelten:$$0\stackrel!=\left<g\right>=\frac23\cdot(-1)+\frac16\cdot0+\frac{1}{10}\cdot1+\frac{1}{15}\cdot G=-\frac{17}{30}+\frac{G}{15}\implies G=8,5$$Die maximale Gewinn müsste bei \(8,50€\) liegen, was einer maximalen Auszahlung von \(9,50€\) entspricht.

Avatar von 148 k 🚀

Es gibt hier nichts zu vermuten, weil die Verteilung für den Gewinn angegeben ist. Damit hat man alles, was man braucht.

Dein Erwartungswert mit dem neuen Einsatz ist jedoch falsch. Du berücksichtigst den Einsatz nur im ersten Fall nicht jedoch in den anderen Fällen (da gehst du weiterhin von einem Einsatz von 1 Euro aus). Der Einsatz muss übrigens um 30 Cent gesenkt werden, weil der Erwartungswert für den Gewinn genau -30 Cent beträgt. Das hätte man sehen können...

Vielen lieben Dank für die Mühe!

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Für Erwartungswert und Standardabweichung gibt es Formeln. Wende sie an. Da kann man eigentlich nicht "Nichts" verstehen. Man muss sich nur mal die Mühe machen, anzufangen. Und wenn es nicht klappt, gibt es sicherlich auch genügend Beispiele dazu. Für das Verständnis ist es wichtig, sich damit mal zu befassen.

Für den Erwartungswert multiplizierst du die Werte der Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeit und addierst sie alle zusammen: \(x_1P(X=x_1)+\ldots \)

Für die Standardabweichung bildest du jeweils die Abweichung vom Erwartungswert und quadrierst sie, multiplizierst das mit der Wahrscheinlichkeit und addierst. Am Ende ziehst du die Wurzel: \(\sqrt{(x_1-\mu)^2P(X=x_1)+\ldots}\)

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich 0 ist oder wenn der Erwartungswert der Auszahlung dem Einsatz entspricht.

Avatar von 10 k
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1.

a) EW= 1/4*(-10) + 1/6*0 + 1/10*1+ 1/12*10 + 24/60*(-1)

Avatar von 36 k

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