Differentialgleichungen, Charakteristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe eine Frage und zwar wie man das charakteristische Polynom von folgender Aufgabe erstellt (siehe Bild), in der Lösung steht, dass die analytische Lösung

y(t) =  t + e^(-3t)

ist. Und man kommt darauf indem man das charakteristische Polynom bildet und mit dem „Ansatz vom Typ der rechten Seite“.

Problem/Ansatz:

Wie kommt man hier auf das charakteristische Polynom wäre meine Frage. Danke im Voraus

Text erkannt:

Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem:
\( y^{\prime}(t)=-3 y(t)+1+3 t, \quad y(0)=1 . \)

Answer 1

Bei einer homogenen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

\(a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots + a_1y'+a_0y_0=0\)

lautet das charakteristische Polynom

\(a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots + a_1\lambda+a_0=0\).

Wenn du es also nicht siehst, stelle deine DGL erst einmal um und leite daraus dann das charakteristische Polynom ab.

Answer 2

Hallo,

y'(t)= -3y(t) +1+3t,y(0)=1

Hinweis: Mach Dir keine Gedanken, die Rechnung die ich schrieb, ist vollkommen richtig.

Ich denke , das hilft Dir.

extra ausführlich:

Hier der Link unter Punkt 8:

https://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Comments

Nur bis 5. hat es was mit der Frage zu tun, der Rest war gar nicht gefragt. Außerdem ist "homogene Lösung" falsch - eine homogene Lösung gibt es hier nicht.

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homogene Lösung steht auch oft im Internet, kann ja nicht so falsch sein.

Und was ist so schlimm , wenn ich alles gerechnet habe, Der Fragesteller wird sicherlich nicht traurig darüber sein.

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Ach, was im Internet steht, kann nicht so falsch sein?! Ohje....

"homogene Lsg" ist falsch.

Du kannst ja gerne alles für Dich selbst rechnen, wenn Du Spaß dran hast. Aber vlt hatte der FS Grund nur nach dem char. Pol. zu fragen?!

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Das ist von Wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung

Ist das auch falsch?

An welcher Uni bist Du denn?

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Ja, das ist falsch. Es gibt den Begriff "homogen" bei Dgln und bei Funktionen. Eine Lösung ist hier eine Funktion, die ist aber nicht homogen. Kannst Du aber alles selbst auch googeln.