Hallo Niklas,
zu (a) Die Funktion (linear Funktion) von 0 bis 120h sollte Dir kein Problem machen$$f_1(t) = \frac{420}{120} t \quad 0 \le t \lt 120$$was man natürlich noch zu \(\frac{7}{2}t\) zusammen kürzen kann (und sollte), aber ich lasse es mal so stehen, dann wird klarer wie das zustande kommt. Wenn man für \(t\) 120 (Stunden) einsetzt, so ist das Ergebnis 420 (Nutzer).
Danach fiel die Benutzerzahl exponentiell asymptotisch gegen Null,
Für die Exponentialfunktion kannst Du eine beliebige Basis wählen. Man wählt aber oft die Eulersche Zahl \(e\), weil das Vorteile hat, wie Du hoffentlich gleich sehen wirst. Ganz allgemein sieht das so aus:$$f_2(t) = a_0 e^{{-t}/{T}}$$\(a_0\) ist der Wert der Funktion zum Zeitpunkt \(t=0\) - also hier die 420. Das Minuszeichen zeigt an, dass es sich um eine abfallende Exponentialfunktion handelt. Umso größer \(t\) wird, desto kleiner wird der Exponent und desto kleiner der Funktionswert. Das \(T\) ist die sogenannte Zeitkonstante, die ist zunächst unbekannt.
Und weiter ist hier zu beachten, dass wir nicht bei \(t=0\) sondern bei \(t=120\) mit der Exponentialfunktion anfangen. Also muss man schreiben$$f_2(t) = 420 e^{{(t-120)}/{T}} \quad 120 \lt t$$\(T\) berechnet sich aus der Bedingung, dass nach 800 Stunden nur noch 1 Nutzer übrig bleiben soll - also \(f_2(800) = 1\)$$\begin{aligned} f_2(800) &= 1 \\ 420 e^{{-(800-120)}/{T}} &= 1 &&\left|\, \div 420\right.\\ e^{{-680}/{T}} &= \frac{1}{420} &&\left| \,\ln\right.\\ -\frac{680}{T} &= \ln\left(\frac{1}{420}\right) &&\left|\, \frac{1}{420} = 420^{-1}\right.\\ -\frac{680}{T} &= -\ln\left(420\right) &&\left|\, \cdot (-T) \div \ln(420)\right.\\ \implies T &= \frac{680}{\ln(420)} \approx 113\end{aligned}$$Beachte bitte, da die 680 für 680 Stunden steht, bedeutet die 113 auch 113 Stunden. Und vielleicht ist Dir auch aufgefallen, dass man sich durch die Verwendung der Basis \(e\) mit dem \(\ln\) leichter tut.
Folglich lautet die abschnittweise definierte Funktion \(f\)$$f(t) = \begin{cases} \frac{420}{120}t & 0 \le t \lt 120\\ 420 e^{{(t-120)}/{113}} & 120 \le t\end{cases}$$
zu (b) in Desmos gegossen:
Oben siehst Du den Graphen von \(f\) (rot). Weiter habe ich Dir noch eine grün gestrichelte Gerade eingezeichnet, die die Linearisierung der Exponentialfunktion im Startpunkt bei \(t=120\) darstellt. D.h. Im Punkt \((120,\,420)\) haben die Exponentialfunktion und die grüne Gerade die selbe Steigung. Diese Gerade schneidet die X-Achse bei \(T=113\) hinter dem Startpunkt von \(f_2\) bei \(t=120\). Dafür habe ich die lila Strecke eingezeichnet.
D.h. Wenn man diese Exponentialfunktion zeichnen möchte, so zeichnet man zunächst diese grüne Gerade, von der man ja den Schnittpunkt mit der X-Achse kennt, und dann lässt man die Funktion asymptotisch gegen 0 auslaufen.
zu (c) Anzahl der Logins pro Tag an einer anderen Schule $$L(t) = 2000 e^{-3t}$$mit \(t\) in Tagen.
Gefragt ist nach der Halbwertszeit - also der Zeit \(t_H\), für die gilt $$\begin{aligned}L(t_H) &= \frac{1}{2}L(0) \\ 2000 e^{-3t_H} &= \frac{1}{2} \cdot 2000 &&|\, \div 2000 \\ e^{-3t_H} &= \frac{1}{2} &&|\, \ln \\ -3t_H &= \ln\left(\frac{1}{2}\right) &&|\,\cdot (-1)\\ 3t_H &= \ln(2) &&|\,\div 3 \\ t_H &= \frac{\ln(2)}{3} \approx 0,2310\end{aligned}$$Das entspricht etwa \(t_H \approx 5,5\,\text{h}\).
Für die durchschnittliche Anzahl \(L_{\emptyset 14}\) in den ersten zwei Wochen (14 Tagen) gilt$$\begin{aligned}L_{\emptyset 14} &= \frac{1}{14} \int\limits_{0}^{14} L(t)\, \text{d}t \\ &= \frac{1}{14} \int\limits_{0}^{14} 2000 e^{-3t}\, \text{d}t \\ &= \frac{2000}{14} \left[-\frac{1}{3} e^{-3t}\right]_{0}^{14} \\ &=\frac{1000}{7} \left[-\frac{1}{3}e^{-3 \cdot 14} - \left(-\frac{1}{3} e^{0} \right)\right] \\ &= \frac{1000}{21}\left(1 - e^{-42}\right) \approx 47,6\end{aligned}$$also bleiben nur knapp 48 Logins pro Tag übrig.
Gruß Werner
