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Aufgabe:

Eine Funktion y besitze die Eigenschaft, dass alle ihre Kurvennormalen durch den Ursprung gehen. Außerdem gelte y (1) = 1.
Zeichnen Sie in einem Punkt P(x|y) ein Steigungsdreieck ein, um einen Zusammenhang zwischen x, y und y' gewinnen zu können. Lösen Sie diese Differentialgleichung.

Problem/Ansatz:

Die Normalensteigung ist definiert als 1/y´

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Zunächst: Die Normalensteigung ist -1/y'.

Es sei also y : IRy:I \to \R eine stetig differenzierbar Funktion auf einem geeigneten Definitionsbereich. Die Gleichung der Normale in einem Punkt (x,y(x))(x,y(x)) mit y(x)0y'(x) \neq 0 ist:

ty(x)1y(x)(tx)t \mapsto y(x)-\frac{1}{y'(x)}(t-x)

Sie geht durch den Nullpunkt, wenn

y(x)1y(x)(0x)=0    y(x)y(x)=xy(x)-\frac{1}{y'(x)}(0-x)=0 \iff y(x)y'(x)=-x

Durch Integration mit der Vorgabe y(1)=1y(1)=1 folgt

0.5y(x)20.5=0.50.5x2y(x)=2x20.5y(x)^2-0.5=0.5-0.5x^2 \Rightarrow y(x)=\sqrt{2-x^2}

Der Graph von y ist ein Halbkreis um den Nullpunkt, so dass offensichtlich die Bedingung für die Normal erfüllt ist.

Avatar von 14 k
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Hallo

1. mit Krümmung 1/y' kommt Unsinn raus richtig Krümmung -1/y' dann hast du

 2. das Steigungsdreieck  ist y/x damit  äst du 1/y'=-y/x die Dgl kann man leicht mit Trennung der Variablen lösen auch vorher schon weiss man, dass es einen Kreis durch (1,1) haben muss.

Gruß lul

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