Ansatz für Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Eine Funktion y besitze die Eigenschaft, dass alle ihre Kurvennormalen durch den Ursprung gehen. Außerdem gelte y (1) = 1.
Zeichnen Sie in einem Punkt P(x|y) ein Steigungsdreieck ein, um einen Zusammenhang zwischen x, y und y' gewinnen zu können. Lösen Sie diese Differentialgleichung.

Problem/Ansatz:

Die Normalensteigung ist definiert als 1/y´

Answer 1

Zunächst: Die Normalensteigung ist -1/y'.

Es sei also \(y:I \to \R\) eine stetig differenzierbar Funktion auf einem geeigneten Definitionsbereich. Die Gleichung der Normale in einem Punkt \((x,y(x))\) mit \(y'(x) \neq 0\) ist:

$$t \mapsto y(x)-\frac{1}{y'(x)}(t-x)$$

Sie geht durch den Nullpunkt, wenn

$$y(x)-\frac{1}{y'(x)}(0-x)=0 \iff y(x)y'(x)=-x$$

Durch Integration mit der Vorgabe \(y(1)=1\) folgt

$$0.5y(x)^2-0.5=0.5-0.5x^2 \Rightarrow y(x)=\sqrt{2-x^2}$$

Der Graph von y ist ein Halbkreis um den Nullpunkt, so dass offensichtlich die Bedingung für die Normal erfüllt ist.

Comments

Ich bin eben  auf die hier angegebene Lösung gestoßen, die zwar richtig ist, aber schwer nachvollziehbar ist und die empfohlene Methode bei der Aufgabenstellung nicht berücksichtigt, bei der man ein Steigungsdreieck verwenden soll.

Mit dem Steigungsdreieck ist die Lösung viel einsichtiger:

Man nehme einen Punkt der gesuchten Kurve mit den Koordinaten P (x, y). Dann ist die Steigung der Normalen, die durch den Ursprung gehen soll:

m_N = y / x

Die Steigung der zugehörigen Tangente ist gleich dem negativen Kehrwert der Steigung der Normalen und gleich der Ableitung von y.

Also gilt: m_T =  -x / y = y'  bzw  -x = y y'

Dann habe ich die die selbe Gleichung wie mein Kollege oben.

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Ja das ist einfacher. Aber auch du verwendest nicht die gegebene Information das die Normalensteigung wie folgt definiert ist:

m_N = - 1 / y'

So würde man gleich auf den Ansatz

m_N = - 1 / y' = y / x --> - x = y·y'

kommen.

Answer 2

Hallo

1. mit Krümmung 1/y' kommt Unsinn raus richtig Krümmung -1/y' dann hast du

 2. das Steigungsdreieck  ist y/x damit  äst du 1/y'=-y/x die Dgl kann man leicht mit Trennung der Variablen lösen auch vorher schon weiss man, dass es einen Kreis durch (1,1) haben muss.

Gruß lul

Comments

Sollte das nicht Steigung statt Krümmung lauten?

Wenn die Tangentensteigung an der Stelle x einfach m_T = y' ist, dann ist die Normalensteigung der negative Kehrwert von y' also m_N = - 1 / y'. Da hat der Fragesteller wohl nur versehentlich das "-" vergessen.

Damit gilt für die Normalensteigung:

m_N = - 1 / y' = y / x → - x = y·y'