Aufgabe: Wie finde ich heraus ob ein Modul über einen kommutativen Ring mit 1 ein einelementiges Erzeugendensystem hat?
Aufgaben:
(a) Der R[T]-Modul R[T]/(Tˆ22 − 1)R[T] ⊕ R[T]/(Tˆ2 + 1)R[T]. (Mit R reele Zahlen)
(b) Der Z-Modul Z[√2]×, die abelsche Gruppe der Einheiten im Ring Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z}. ( Z wie Ganze Zahlen)
Also zuzeigen ist ob sie zyklisch sind. Heisst ob sie ein ein elementiges Erzeugendensystem haben.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz wäre zum Beispiel beim ersten; das element (1,0) wird ja als 1+(Tˆ2 -1)R[T] dargestellt und ähnlich mit (0,1). Dies wäre also meines erachtensnach eine Basis. Aber ist sie ist ja nicht einelementig beziehungsweise, wie kann eine basis über ein Modul mit 2 koordinaten überhaupt einelementig sein?
