Berechne die einzige reelle Nullstelle der folgenden Funktionen auf vier Dezimalstellen genau

Question

Aufgabe:

Berechne die einzige reelle Nullstelle der folgenden Funktionen auf vier Dezimalstellen genau
ohne Technologieeinsatz. Verwende dazu den angegebenen Startwert Xo.
a) f(x) = x3 + 0,66 x - 1,17; xo = 0,8

Wie löse ich das mit den Newton verfahren ?

Comments

Was versteht man denn unter dem Newton Verfahren? Wie ist es definiert?

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https://de.serlo.org/mathe/1989/newtonsches-n%C3%A4herungsverfahren

Answer 1

Die Anwendung des Newton-Verfahrens ohne Technologieeinsatz ist ein Mordsaufwand. Ich bevorzuge die Anwendung der Regula-Falsi:

Bestimme die Nullstelle x₁ der Geraden durch (1|f(1)) und (0,8|f(0,8)).

Bestimme die Nullstelle x₂ der Geraden durch (1|f(1)) und (x₁|f(x₁)).

Bestimme die Nullstelle x₃ der Geraden durch (1|f(1)) und (x₂|f(x₂)).

Setzte fort, bis in der vierten Stelle nach dem Komma keine Änderung mehr erfolgt.

Answer 2

f(x) = x³ + 0,66 x - 1,17; xo = 0,8

f '(x)= 3x² +0,66

Also $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f '(x_0)}=0,8 - \frac{f(0,8)}{f'(0,8)}=0,8 - \frac{-0,13}{2,58} =0,85503$

$x_2 = x_1- \frac{f(x_1)}{f '(x_1)}=0,85503 - \frac{f(0,85503)}{f'(0,85503)}=0,85503 - \frac{0,00622}{2,8295} =0,84819$

$x_3 = x_2- \frac{f(x_1)}{f '(x_1)}=0,84819 - \frac{f(0,84819)}{f'(0,84819)}=0,84819 - \frac{0,000012}{2,81827} =0,84818$

Also auf 4 Stellen genau 0,8482.

Comments

Wurde das wirklich ohne Technologieeinsatz durchgeführt? Wie berechnet man $\frac{f(0,85503)}{f '(0,85503)}$ auf 5 Nachkommastellen genau, ohne zu verzweifeln?

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Ich hatte Technologie=CAS interpretiert.

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Dann hätte ein nicht algebraisch rechnender, graphikfähiger TR dir viel Mühe erspart. Eine kurze Bedienungsanleitung zu Bestimmung von Nullstellen hätte gereicht.

Ich vermute, dass die Intention des Lehrers (Aufgabenstellers) war, ein Näherungsverfahren durchführen zu lassen ohne dabei auf die von digitalen Werkzeugen bereitgestellten Näherungslösungen für Nullstellen zurückzugreifen.