0 Daumen
332 Aufrufe

Aufgabe

(f) Wir betrachten siebenstellige Zahlen, bei welchen keine Ziffer grösser als irgend eine vorangehende Ziffer sein darf. Wie viele solche Zahlen gibt es?
Lösung:
Die Anzahl solcher Zahlen ist gleich der Anzahl positiver ganzzahligen Lösungen der Gleichung
x0+x1++x9=7 x_{0}+x_{1}+\ldots+x_{9}=7
minus 1. (Warum?)
Man kann sich die Gleichung als Menge von 7 Einsen vorstellen, welche wir in 10 Abschnitte unterteilen wollen, wobei jeder Abschnitt zu einem xi x_{i} korrespondiert.
Wir wollen also die Anzahl an Möglichkeiten bestimmen, 10-1=9 Teilende "Balken" auf die Menge der Einsen zu verteilen. Wir haben 10+7-1 Positionen, auf welche wir 9 Balken verteilen wollen, also
(169)=16!9!7!=11.440 \left(\begin{array}{c} 16 \\ 9 \end{array}\right)=\frac{16 !}{9 ! \cdot 7 !}=11.440

Möglichkeiten.
Die gesuchte Anzahl Zahlen ist 11.439.

Text erkannt:

(f) Wir betrachten siebenstellige Zahlen, bei welchen keine Ziffer grösser als irgend eine vorangehende Ziffer sein darf. Wie viele solche Zahlen gibt es?
Lösung:
Die Anzahl solcher Zahlen ist gleich der Anzahl positiver ganzzahligen Lösungen der Gleichung
x0+x1++x9=7 x_{0}+x_{1}+\ldots+x_{9}=7
minus 1. (Warum?)
Man kann sich die Gleichung als Menge von 7 Einsen vorstellen, welche wir in 10 Abschnitte unterteilen wollen, wobei jeder Abschnitt zu einem xi x_{i} korrespondiert.
Wir wollen also die Anzahl an Möglichkeiten bestimmen, 10-1=9 Teilende "Balken" auf die Menge der Einsen zu verteilen. Wir haben 10+7-1 Positionen, auf welche wir 9 Balken verteilen wollen, also
(169)=16!9!7!=11.440 \left(\begin{array}{c} 16 \\ 9 \end{array}\right)=\frac{16 !}{9 ! \cdot 7 !}=11.440

Möglichkeiten.
Die gesuchte Anzahl Zahlen ist 11.439.



Problem/Ansatz:

Kann mir jemand die Lösung etwas genauer erklären? Ich verstehe nicht warum man sieben Einsen nimmt und warum man dann 16 Positionen hat und nicht 7. Ausserdem ist mir unklar weshalb ich am ende noch minus 1 rechnen muss.

Avatar von

Ich wäre auch schon froh wenn ihr mir nur ein Teil der Aufgabe erklären könntet.

1 Antwort

+1 Daumen
warum man sieben Einsen nimmt

Es ist

        1+1+1+1+1+1+1=71+1+1+1+1+1+1 = 7.

Jede positive ganzzahlige Lösung der Gleichung

        x0+x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=7x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9 = 7

kann mittels Assoziativgesetz und Einfügen von Nullen aus der Summe der sieben Einsen gewonnen werden. Die Lösung

        x2=2,x5=4,x7=1,x0=x1=x3=x4=x6=x8=x9=0x_2=2, x_5=4, x_7=1, x_0=x_1=x_3=x_4=x_6=x_8=x_9=0

ergibt sich zum Beispiel aus

        0+0+(1+1)+0+0+(1+1+1+1)+0+1+0+0=70+0+(1+1)+0+0+(1+1+1+1)+0+1+0+0=7.

Auf die Tatsache, dass der Autor der Lösung die 00 anscheinend als positive Zahl ansieht, möchte ich hier nicht näher eingehen.

und warum man dann 16 Positionen hat

Trennt man in obiger Gleichung die Summenden durch \vert und verwendet man \star anstatt 11 (der Übersichtlichkeit halber), dann sähe obige Lösung so aus:

        \vert\vert\vert\star\star\vert\vert\vert\star\star\star\star\vert\vert\star\vert\vert\vert

Steht zwischen zwei \vert kein \star, so ist das der Summand 00, ansonsten ist das der Sumand entsprechend der Anzahl der \star.

Bei dieser Kodierung steht am Anfang und am Ende immer ein \vert. Diese können weggelassen werden und man bekommt

        \vert\vert\star\star\vert\vert\vert\star\star\star\star\vert\vert\star\vert\vert.

Diese Kodierung besteht aus 1616 Zeichen. Die Anzahl der Möglichkeiten bekommt man deshalb, indem man in den 1616 verfügbaren Positionen an 99 Positionen ein \vert schreibt und an den restlichen 77 Positionen einen \star.

Avatar von 107 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage