ist die folgende Aussage Richtig? Begründen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

b) Gegeben sind die folgenden Untervektorräume \( U_{1}, U_{2} \) des Vektorraums \( \mathbb{R}^{2} \) :
\( U_{1}=L H\left(\left(\begin{array}{c} -2 \\ 8 \end{array}\right)\right), U_{2}=L H\left(\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right)\right) \)

Ist die folgende Aussage richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Aussage genau. "Die Menge \( \left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right)\right\} \) stellt ein Erzeugendensystem von \( U_{1} \cap U_{2} \) dar."

Comments

Hier muss man nicht großartig rechnen.

Die beiden Vektoren, die \(U_2\) aufspannen, sind (offenbar) linear unabhängig und erzeugen somit den gesamten \(\mathbb R^2\). Damit ist

\(U_1\cap U_2 = U_1 \cap \mathbb R^2 = U_1\)

Jetzt muss du nur noch "sehen", dass \(-\frac 12 \begin{pmatrix} -2\\8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix}\).

Damit wird \(U_1\cap U_2\) von \(\begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix}\) erzeugt.

Answer 1

Es ist \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right) = -0,5 \cdot  \left(\begin{array}{c}-2 \\ 8\end{array}\right)  \), also \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right) \in U_1 \)

Außerdem ist \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right) = 1,4 \cdot \left(\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right)- 1,8 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3\end{array}\right) \),

also ist auch   \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right) \in U_2 \) und damit \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right) \in U_1 \cap U_2 \).

Da U1 eindimensional ist, kann auch der Schnitt von U1 und U2 

höchstens eindimensional sein, und da er den vom 0-Vektor verschiedenen

Vektor \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right)  \) enthält, bildet dieser eine Basis des Schnitts.

Also stellt die Menge \( \left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ -4\end{array}\right)\right\} \) ein Erzeugendensystem von \( U_{1} \cap U_{2} \) dar.

Answer 2

Prüfe, ob \(\begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}\) überhaupt im Schnitt der Unterräume enthalten ist. Wenn nicht, kann der Vektor den Schnitt auch nicht erzeugen. Wenn doch, sind dann auch alle Vielfachen des Vektors im Schnitt enthalten, so dass der Vektor den Schnitt erzeugt?

Comments

sind dann auch alle Vielfachen des Vektors im Schnitt enthalten

muss heißen "sind dann auch alle Vektoren des Schnitts Vielfache des Vektors"