Wie hoch sind die Kosten? (minimal)

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf
F(K,I) = KL
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pk = 23 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pr = 11. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter
Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 300 ME produziert werden soll.
Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

Bei Wolfram Alpha bekomme ich leider keinen Rechnenweg.

Comments

vgl:

https://www.mathelounge.de/597028/kostenfunktion-minimieren-lagrange

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Kann es sein, dass Du hier munter I, L und r durcheinandermischt und jeweils Arbeit meinst?

Diesfalls wäre das Kostenminimum etwa 551.

Answer 1

Aloha :)

Die Kostenfunktion $€(k,\ell)$ soll unter einer konstanten Nebenbedingung $F(k,\ell)$ optimiert werden:$$€(k,\ell)=23k+11\ell\to\text{Minimum}\quad;\quad F(k,\ell)=k\ell\stackrel!=300$$

Wenn keine Nebenbedingung angegeben wäre, würdest du einfach den Gradienten von $€(k,\ell)$ gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu ermitteln. Wenn konstante Nebenbedingungen angegeben sind, muss nach Lagrange der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gardienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}€(k,\ell)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(k,\ell)\implies\binom{23}{11}=\lambda\cdot\binom{\ell}{k}$$

Da der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ nicht Null sein darf (sonst hätten wir die Nebenbedingung ignoriert), können wir die Gleichung für die 1-te Koordinate durch die Gleichung der 2-ten Koordiante dividieren:$$\frac{23}{11}=\frac{\lambda\cdot\ell}{\lambda\cdot k}=\frac{\ell}{k}\implies\pink{\ell=\frac{23}{11}\,k}$$

Die pinke Lagrange-Bedingung kannst du nun in die Nebenbedingung einsetzen:$$300=k\pink\ell=k\,\pink{\frac{23}{11}\,k}=\frac{23}{11}k^2\implies k=\pm\sqrt{\frac{3300}{23}}\approx11,9782$$

Diesen Wert für $k$ setzt du noch in die Lagrange-Bedingung ein:$$\ell=\frac{23}{11}\cdot11,9782\approx25,0454$$und erhältst dann als optimale Lösung:$$k\approx11,9782\quad;\quad\ell\approx25,0454\quad\implies\quad €_{\text{min}}=551,00\quad\text{(gerundet auf Cent)}$$