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Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf
F(K,I) = KL
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pk = 23 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pr = 11. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter
Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 300 ME produziert werden soll.
Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?


Problem/Ansatz:

Bei Wolfram Alpha bekomme ich leider keinen Rechnenweg.

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Kann es sein, dass Du hier munter I, L und r durcheinandermischt und jeweils Arbeit meinst?

Diesfalls wäre das Kostenminimum etwa 551.

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Aloha :)

Die Kostenfunktion (k,)€(k,\ell) soll unter einer konstanten Nebenbedingung F(k,)F(k,\ell) optimiert werden:(k,)=23k+11Minimum;F(k,)=k=!300€(k,\ell)=23k+11\ell\to\text{Minimum}\quad;\quad F(k,\ell)=k\ell\stackrel!=300

Wenn keine Nebenbedingung angegeben wäre, würdest du einfach den Gradienten von (k,)€(k,\ell) gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu ermitteln. Wenn konstante Nebenbedingungen angegeben sind, muss nach Lagrange der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gardienten aller Nebenbedingungen sein:grad(k,)=λgradF(k,)    (2311)=λ(k)\operatorname{grad}€(k,\ell)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(k,\ell)\implies\binom{23}{11}=\lambda\cdot\binom{\ell}{k}

Da der Lagrange-Multiplikator λ\lambda nicht Null sein darf (sonst hätten wir die Nebenbedingung ignoriert), können wir die Gleichung für die 1-te Koordinate durch die Gleichung der 2-ten Koordiante dividieren:2311=λλk=k    =2311k\frac{23}{11}=\frac{\lambda\cdot\ell}{\lambda\cdot k}=\frac{\ell}{k}\implies\pink{\ell=\frac{23}{11}\,k}

Die pinke Lagrange-Bedingung kannst du nun in die Nebenbedingung einsetzen:300=k=k2311k=2311k2    k=±33002311,9782300=k\pink\ell=k\,\pink{\frac{23}{11}\,k}=\frac{23}{11}k^2\implies k=\pm\sqrt{\frac{3300}{23}}\approx11,9782

Diesen Wert für kk setzt du noch in die Lagrange-Bedingung ein:=231111,978225,0454\ell=\frac{23}{11}\cdot11,9782\approx25,0454und erhältst dann als optimale Lösung:k11,9782;25,0454    min=551,00(gerundet auf Cent)k\approx11,9782\quad;\quad\ell\approx25,0454\quad\implies\quad €_{\text{min}}=551,00\quad\text{(gerundet auf Cent)}

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