Aloha :)
Die Kostenfunktion €(k,ℓ) soll unter einer konstanten Nebenbedingung F(k,ℓ) optimiert werden:€(k,ℓ)=23k+11ℓ→Minimum;F(k,ℓ)=kℓ=!300
Wenn keine Nebenbedingung angegeben wäre, würdest du einfach den Gradienten von €(k,ℓ) gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu ermitteln. Wenn konstante Nebenbedingungen angegeben sind, muss nach Lagrange der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gardienten aller Nebenbedingungen sein:grad€(k,ℓ)=λ⋅gradF(k,ℓ)⟹(1123)=λ⋅(kℓ)
Da der Lagrange-Multiplikator λ nicht Null sein darf (sonst hätten wir die Nebenbedingung ignoriert), können wir die Gleichung für die 1-te Koordinate durch die Gleichung der 2-ten Koordiante dividieren:1123=λ⋅kλ⋅ℓ=kℓ⟹ℓ=1123k
Die pinke Lagrange-Bedingung kannst du nun in die Nebenbedingung einsetzen:300=kℓ=k1123k=1123k2⟹k=±233300≈11,9782
Diesen Wert für k setzt du noch in die Lagrange-Bedingung ein:ℓ=1123⋅11,9782≈25,0454und erhältst dann als optimale Lösung:k≈11,9782;ℓ≈25,0454⟹€min=551,00(gerundet auf Cent)