P(nach n Würfen existiert genau eine Zahl , die mehr als einmal gefallen ist)=?

Question

Aufgabe: Ein fairer Würfel wird wiederholt geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach n Würfen genau eine Zahl existiert, die mehr als einmal gefallen ist?

Answer 1

Für \(n=1\) beträgt die Wahrscheinlichkeit 0 % und für \(n\geq 7\) beträgt die Wahrscheinlichkeit 100 %.

Hier kann man am besten mit dem Gegenereignis arbeiten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Würfen keine Zahl doppelt aufgetreten ist. Die Wahrscheinlichkeit kann man ja für die anderen Werte von n relativ leicht berechnen.

Korrektur nach Kommentaren: Da ich das "genau eine Zahl" überlesen hatte, hier nochmal eine andere Überlegung, da das mit dem Gegenereignis dann doch nicht so sinnvoll erscheint. Ich würde hier erstmal strukturiert vorgehen.

Für \(n=2\) ist die Bedingung erfüllt, wenn man einen Pasch wirft. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\).

Für \(n=3\) ist die Bedingung erfüllt, wenn eine Zahl doppelt oder dreifach vorkommt. Hier klappt das mit dem Gegenereignis, dass alle Zahlen verschieden sind. Die Wahrscheinlichkeit ist dann \(1-\frac{6}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{4}{6} = \frac{96}{216}=\frac{4}{9}\).

Bei \(n=4\) muss man dann schon aufpassen, denn Kombinationen wie 1, 1, 2, 2 erfüllen die Bedingung nicht mehr, da zwei Zahlen mehr als einmal vorkommen.

Über eine allgemeine Formel in Abhängigkeit von \(n\) müsste ich jetzt auch erst einmal etwas genauer nachdenken.

Wenn ihr schon die Binomialverteilung hattet, kann vielleicht ein Ansatz darüber helfen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Zahl bei \(n\geq 2\) Würfen mehr als einmal auftritt ist

\(\sum_{i=2}^{n}\binom{n}{i}(\frac{1}{6})^i(\frac{5}{6})^{n-i}=1-(\frac{5}{6})^n-\frac{n}{6}(\frac{5}{6})^{n-1}\). (P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1))

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zahl mehr als einmal auftritt ist dann 6 mal so groß, da es ja 6 verschiedene Zahlen gibt. Also

\(6-5(\frac{5}{6})^{n-1}-n(\frac{5}{6})^{n-1}=6-(5+n)(\frac{5}{6})^{n-1} \).

Davon muss jetzt noch die Wahrscheinlichkeit abgezogen werden, dass mehr als eine Zahl mindestens zweimal auftritt...

Ich frage mich, ob die Aufgabe tatsächlich so gemeint ist, wie sie da steht oder ob da wieder jemand nicht auf die sprachliche/mathematische Korrektheit der Formulierung geachtet hat.

Comments

für \(n\geq 7\) beträgt die Wahrscheinlichkeit 100 %.

Wohl kaum.

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Mich verunsichert das „genau eine Zahl, mehr als einmal gewürfelt“ werden soll

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Mich verunsichert das „genau eine Zahl, mehr als einmal gewürfelt“ werden soll

= mindestens 2mal

Es gilt: P(X>1) = 1- P(X=0)-P(X=1)

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Wohl kaum.

Danke. Hatte das "genau eine Zahl" missachtet. Korrigiere ich. Das gilt dann natürlich für kein \(n\).

Genau eine Zahl mehr als einmal, bedeutet, dass genau eine Zahl mindestens zweimal geworfen wird. Bedeutet: 1, 1, 2, 3, 4, 5 erfüllt diese Bedingung, da die 1 (genau eine Zahl) zweimal (mehr als einmal) geworfen wurde. 1, 1, 2, 2, 3, 4 erfüllt die Bedingung allerdings nicht, da zwei Zahlen mehr als einmal geworfen werden.

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Genau, das hab ich mir auch schon gedacht.

Leider komme ich nicht auf den Ansatz, wie ich damit rechnen soll

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vlt. kommst du drauf, wenn du dich an diesem Bespiel orientierst:

n= 5, nur die 1 soll mehr als 1mal auftreten:

11xyz

111xy

1111x

Berücksichtige jeweils die Reihenfolgen

11xyz : 1*5*4*3*(5über2) = 120 Möglichkeiten

...

Und das ganze für alle 6 Zahlen des Würfels (Ergebnis mal 6)

Insgesamt gibt es 6^5 = 7776 Ergebnisse beim 5-maligen Werfen.

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Das ist aber auch nur für ein konkretes \(n\) der Fall...

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Danke für eure beiden Antworten. Leides ist die Aufgabe uns genauso gestellt. Die nächste Aufgabe ist etwas einfache, die werde ich dann nochmal stellen

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Die Frage ist ja dann, ob die Aufgabe auch wirklich so gemeint ist, wie sie gestellt ist. In welchem Zusammenhang tritt sie denn auf?

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Als alleinige Aufgabe. „ein fairer Würfel wird gewürfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es nach n Würfen genau eine Zahl gibt, die mehr als einmal gefallen ist.“

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Ich erhalte \(p=\frac{\sum_{k=2}^n\frac{n!}{k!}\binom{5}{n-k}}{6^{n-1}}\)

Answer 2

P(X>1) = 1-P(X=0) -P(X=1)

1- (5/6)^n - n*(1/6)*(5/6)^(n-1)

Beispiel: n= 10, die 6 erscheint mehr als einmal

P= 1- (5/6)^10- 10*(1/6)*(5/6)^9 = 51,55 %

Das ist für den Fall, dass ein bestimmte Zahl mehr als einmal erscheint ohne Berücksichtigung, dass andere Zahlen dabei mehr als 1mal auftreten. Darüber muss ich noch nachdenken.

Comments

Das passt aber auch nicht, denn es missachtet den Zusatz, dass genau eine Zahl mehr als einmal geworfen wird. In deinem Fall könnte auch eine andere Zahl als die 6 zusätzlich mehr als einmal gewürfelt worden sein.

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Die Frage ist ja dann, ob die Aufgabe auch wirklich so gemeint ist, wie sie gestellt ist.

Sie ist mMn eindeutig und unmissverständlich formuliert, wie ich im Nachhinein erkenne.

Willst du jetzt alles infrage stellen? Vlt. wollte der Autor, dass man hier genau nachdenkt, was ich anfangs auch nicht getan habe, und dass man eine Formel entwickelt. Das wäre dann eine challenge an die Kreativität und eine Konzentrationsaufgabe.

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Sie ist mMn eindeutig und unmissverständlich formuliert, wie ich im Nachhinein erkenne.

Das habe ich auch an keiner Stelle angezweifelt. Dir sollte aber klar sein, dass Aufgaben gerne auch mal so formuliert sind, wie sie eigentlich nicht gemeint sein sollten. An der Formulierung gibt es also nichts auszusetzen, die Frage ist nur, ob genau das auch die Intention des Autors ist. Denn wie du ja selbst gemerkt hast, verläuft man sich recht schnell. Und genau das kann eben auch bei der Formulierung derartiger Aufgaben passieren, wenn man nicht weiter darüber nachdenkt. Deswegen fragte ich zusätzlich, in welchem Zusammenhang die Aufgabe aufgetreten ist.

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Macht euch nichts draus. ChatGPT kann die Frage momentan auch nicht richtig beantworten, aber immerhin hat das Programm die Frage richtig verstanden.

Die gegebene Antwort kann einem aber auch auf den richtigen Lösungsweg führen. Evtl. kann ein interaktives Gespräch mit ChatGPT nützlich sein.

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Die Lösung ist doch wirklich nicht so schwierig und steht seit mehreren Stunden da.

Da ihr offenbar trotzdem noch eine Erklärung benötigt :
Genau eine der Zahlen 1..6 kommt mehrfach vor, das kann irgendeine sein, also schon mal mit 6 gekürzt : Nenner 6^n-1. Abgezählt wird nach der Mehrfachheit des Auftretens dieser Zahl : k = 2 .. n. Die Zahl kann an (n über k) Positionen innerhalb der n Würfe auftreten und die restlichen n-k Positionen müssen mit verschiedenen der verbleibenden fünf Zahlen aufgefüllt werden . Das ist auf 5*4*3* ... (n-k Faktoren) Arten möglich.

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Wenn die n-k übrigen Positionen aber mehr als 5 sind, hast du doch zwangsläufig eine weitere Zahl, die mehr als einmal auftaucht, womit deine Lösung ebenfalls nicht richtig ist. Oder wo berücksichtigst du das?

Etwas weniger Arroganz schadet übrigens nicht; das ist nämlich das einzige, was man in so gut wie jedem deiner Kommentare herauslesen kann. Eine Erklärung erfolgt seltenst.

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womit deine Lösung ebenfalls nicht richtig ist

Sebstverständlich ist sie richtig, oder dachtest du, dass bei n=10 die in Rede stehende Zahl genau dreimal auftreten könnte ? Der Co-Faktor muss also zwangsläufig Null sein, was 5*4*3*2*1*0*(-1) nach meiner Rechnung nun allerdings ist.
Etwas mehr Nachdenken hätte nicht geschadet.

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Frage : Wer ist hier wohl am arrogantesten – du oder ich ?
Antwort : Keiner von beiden sondern Roland, der vor lauter Arroganz meinen Beitrag nicht ernst genommen hat.