Aufgabe:
Ein Vektor \( \boldsymbol{c} \) hat bezüglich einer gegebenen Basis \( B=\left\{\boldsymbol{a}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{a}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{a}_{\mathbf{3}}\right\} \) des \( \mathbb{R}^{3} \) die Darstellung \( \boldsymbol{c}_{\mid B}=(2,2,1)^{T} \). Zeigen Sie, dass auch die Vektoren \( b_{1}=a_{1}-a_{3}, b_{2}=a_{1}+a_{2}, b_{3}=a_{1}-a_{2}+a_{3} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bilden. Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors \( \boldsymbol{c} \) bezüglich der Basis \( B^{\prime}=\left\{\boldsymbol{b}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{b}_{2}, \boldsymbol{b}_{3}\right\} \).
Ansatz:
2.2) \( \left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{\top} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) ?
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\alpha\left(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{1} \\ a_{1} \end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c} 0 \\ a_{2} \\ -a_{2} \end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{c} -a_{3} \\ 0 \\ a_{3} \end{array}\right) \\ \end{array} \)
Ich würde das Erzeugendensystem nach alpha beta gamma auflösen und dann noch Lineare Unabhängigkeit zeigen. Liege ich richtig?
