Zeigen Sie ,dass eine Menge von n orthonomalen Vektoren { v1....,vn} C R^n eine Basis des R^n ist

Question

ich würde mich sehr über jede Hilfestellung freuen ..

Liebe Grüße :):)

Answer 1

Sind v1,v2,...,vn orthonormal, dann sind sie linear unabhängig;

denn wenn für a1,a2,...,an ∈ ℝ gilt 

a1*v1 + a2*v2+.....an*vn = 0-Vektor    #

dann sind alle a_i = 0, wie die folgende Überlegung zeigt: 

Bilde das Skalarprodukt von a1*v1 + a2*v2+.....an*vn mit einem der vi. 

Das ist gleich 0 weil das Skalarprodukt mit dem 0-Vektor immer 0 ist.

(a1*v1 + a2*v2+.....an*vn) * vi   = 0    

<=> a1*v1*vi + a2*v2*vi+.....an*vn * vi   = 0 

 alle Summanden außer dem i-ten sind 0, wegen der 

Orthogonalität. und es bleibt nur   ai*vi*vi = 0 .

Wegen Orthonormalität ist vi*vi=1 , also  ai*1 = 0 ,

also ai =0.   Und das kannst du mit jedem i  ∈ { 1,...,n}

machen, also sind alle ai =0.   Und wenn in der Gleichung # 

alle ai = 0 sein müssen, dann die Vektoren lin. unabh.

Und n linear unabhängige Vektoren in ℝⁿ bilden eine Basis.