Aufgabe:
Sei X : =[1,∞) und
T : X→X,x↦x+x1
(b) Zeigen Sie, dass ∣T(x)−T(y)∣<∣x−y∣ für alle x,y∈X mit x=y.
(c) Zeigen Sie, dass T keinen Fixpunkt hat. Warum ist das kein Widerspruch zum Banachschen Fixpunktsatz?
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz zur (b) ist folgender:
(b) ∣T(x)−T(y)∣=∣∣∣∣x+x1−(y+y1)∣∣∣∣=∣∣∣∣x+x1−y−y1∣∣∣∣=∣∣∣∣x−y+x1−y1∣∣∣∣≤∣x−y∣+∣∣∣∣x1−y1∣∣∣∣<∣x−y∣?
,aber diese Abschätzung macht ja keinen Sinn. Weiß jemand, wo der Fehler liegen könnte?
Bei der (c) habe ich leider keine Idee.
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Dankeschön :-)