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Aufgabe:

Sei X : =[1,) X:=[1, \infty) und
T : XX,xx+1x T: X \rightarrow X, \quad x \mapsto x+\frac{1}{x}

(b) Zeigen Sie, dass T(x)T(y)<xy |T(x)-T(y)|<|x-y| für alle x,yX x, y \in X mit xy x \neq y .
(c) Zeigen Sie, dass T T keinen Fixpunkt hat. Warum ist das kein Widerspruch zum Banachschen Fixpunktsatz?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zur (b) ist folgender:

 (b) T(x)T(y)=x+1x(y+1y)=x+1xy1y=xy+1x1yxy+1x1y<xy? \begin{array}{l}\text { (b) }|T(x)-T(y)|=\left|x+\frac{1}{x}-\left(y+\frac{1}{y}\right)\right| \\ =\left|x+\frac{1}{x}-y-\frac{1}{y}\right|=\left|x-y+\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right| \\ \leq|x-y|+\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|<|x-y| ?\end{array}

,aber diese Abschätzung macht ja keinen Sinn. Weiß jemand, wo der Fehler liegen könnte?

Bei der (c) habe ich leider keine Idee.

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Dankeschön :-)

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Tipp zu b): Der MWS kann dir weiterhelfen.

Zu c): Welche Voraussetzung des Fixpunktsatzes ist denn nicht erfüllt?

Passt das so für die (b)?

Nach dem Mittelwertsatz existiert ein ξ(x,y) \xi \in(x, y) , sodass
T(x)T(y)<T(ξ)xyT(x)=11x2cT(x)T(y)<11ξ2<1xy<xyx,yx \begin{array}{l} |T(x)-T(y)|<\left|T^{\prime}(\xi)\right||x-y| \\ T^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}} \\ \left.c|T(x)-T(y)|<|\underbrace{1-\frac{1}{\xi^{2}}}_{<1}|| x-y|<| x-y \right\rvert\, \quad \forall x, y \in x \end{array}

Das erste < ist (allgemein) falsch.

Ja hab es grade gemerkt, vielen Dank! Ich verstehe jetzt auch bei meiner anderen Frage wie man den Mittelwertsatz für die Abschätzung verwendet. Dankeschön :-)

1 Antwort

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Zeigen Sie, dass TT keinen Fixpunkt hat.

Zeige dass es kein xXx \in X mit x=x+1xx = x+\frac{1}{x} gibt.

Warum ist das kein Widerspruch zum Banachschen Fixpunktsatz?

Weil TT eine der Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes nicht erfüllt.

Avatar von 107 k 🚀

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