Definitheit einer Matrix mit Parameter?

Question

Aufgabe:

b so bestimmen, dass Matrix positiv bzw. negativ definit ist

Problem/Ansatz:

Matrix A = $\begin{pmatrix} b-3 & 0 \\ 0 & b+2 \end{pmatrix}$

Mein Ansatz wäre, die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen: |A-λE₃|

Wenn ich dann die Regel von Sarrus anwende, erhalte ich: (b-3-λ)(b+2-λ).

Nach der Klammerauflösung: b²-b-2bλ-6-λ+λ²

^{Nun weiß ich aber nicht, wie ich weitermachen soll. Wie komme ich an die Nullstellen bzw. an die Werte für λ?}

^{Brauche dringend Hilfe.}

Comments

Du hast eine quadratische Gleichung, die kannst Du mit der pq-Formel lösen.

Viel einfacher wäre es aber, die Klammern nicht aufzulösen und den Satz vom Nullprodukt zu verwenden: Ein Produkt wird 0 genau dann, wenn ein Faktor gleich 0 ist.

Answer 1

Aloha :)

Bei einer Diagonalmatrix stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen:$$\begin{pmatrix}b-3 & 0\\0 & b+2\end{pmatrix}\cdot\binom{1}{0}=(b-3)\cdot\binom{1}{0}$$$$\begin{pmatrix}b-3 & 0\\0 & b+2\end{pmatrix}\cdot\binom{0}{1}=(b+2)\cdot\binom{0}{1}$$Also sind $(b-3)$ und $(b+2)$ die beiden Eigenwerte.

Damit ist die Definitheit der Matrix klar:

1. Fall: $b>3$

Beide Eigenwerte sind positiv, also ist die Matrix positiv definit.

2. Fall: $b<-2$

Beide Eigenwerte sind negativ, also ist die Matrix negativ definit.

3. Fall: $-2<b<3$

Beide Eigenwerte haben unterschiedliche Vorzeichen, also ist die Matrix indefinit.

4. Fall $b=-2$

Ein Eigenwert ist negativ, der andere ist Null, also ist die Matrix negativ semi-definit.

5. Fall $b=3$

Ein Eigenwert ist positv, der andere ist Null, also ist die Matrix positiv semi-definit.

Comments

Vielen Dank.
Da habe ich in diesem Moment nicht dran gedacht.

Answer 2

Durch die Klammerauflösung hast Du Dir eine einfache Lösung verbaut. Verwende den Satz vom Nullprodukt.

Dann siehst Du auch, dass es noch einfacher ginge: Die EWe einer Diagonalmatrix sind die Diagonalelemente.