Zeige, dass f total differenzierbar ist auf R^2

Question

Sei f: R^2 nach R wie folgt definiert: f(x,y) = sin(x*y)/(x*y) für x*y≠0 und 1 für x*y=0. Man soll zeigen, dass f total differenzierbar ist auf R^2. Reicht es hier aus zu zeigen, dass f stetig partiell differenzierbar ist oder muss ich einen gewissen Punkt gesondert untersuchen anhand der Definition der Differenzierbarkeit?

Answer 1

Es reicht zu zeigen, dass f stetig partiell differenzierbar ist, aber das auf ganz \(\R^2\), also auch in den Punkten (x,y) mit x*y=0 (das sind die Koordinatenachsen). Setze also einen entsprechenden Differenzenquotienten für die partiellen Ableitungen an. Wenn Du die part. Abl. auf \(\R^2\) bestimmt hast, kannst Du deren Stetigkeit prüfen und damit (wenn alles passt) zu totaler Differenzierbarkeit gelangen.

Answer 2

Aloha :)

"Stetig partiell differenzierbar" ist quasi das beste, was einer Funktion passieren kann, denn daraus folgt sehr viel automatisch:

$$\begin{array}{c}\text{stetig partiell differenzierbar} & \Rightarrow\text{total differenzierbar} & \Rightarrow\text{partiell differenzierbar}\\\Downarrow & \Downarrow\\\text{alle Richtungsableitungen} & \text{stetig}\\\text{existieren}\end{array}$$

Es "reicht" also aus zu zeigen, dass die Funktion stetig partiell differenzierbar ist.