Zeigen, dass die Länge der natürliche Parametrisierung gleich einer beliebigen anderen Parametrisierung

Question

Aufgabe:

Es geht um folgende Aufgabe:

Aufgabe \( 2\left(6+4\right. \) Punkte). Seien \( a, b, a^{\prime}, b^{\prime} \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( a^{\prime}<b^{\prime} \). Weiterhin sei \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine stetige Kurve und \( \sigma:\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] \rightarrow[a, b] \) eine stetige und monotone Bijektion. Wir betrachten \( \tilde{\gamma}:=\gamma \circ \sigma \).
(a) Zeigen Sie, dass \( L(\tilde{\gamma})=L(\gamma) \) (das beweist Bemerkung 6.12(1)).

Hinweis: Unterscheiden Sie die Art der Monotonie von σ.

Problem/Ansatz:

Das ist mein Ansatz bis jetzt:

(a) Es ist \( \tilde{\gamma}=\gamma(\sigma) \).

Fallunterscheidung:
Sei σ streng monoton steigend. Dann gilt \( \sigma^{\prime}(t)>0 \). Für \( \dot{\tilde{\gamma}}(t)=\dot{\gamma}(\sigma) \cdot \sigma^{\prime}(t)=\frac{\dot{\gamma}(\sigma)}{\| \dot{\gamma}^{(\sigma) \|}} \)
erhalten wir also
\( L(\tilde{\gamma})=\int \limits_{0}^{L(\gamma)} \frac{\dot{\gamma}(\varphi(t))}{\|\dot{\gamma}(\varphi(t))\|} d t=\int \limits_{0}^{c(\gamma)} 1 d t=L(\gamma) \)

Ich glaube, das ist falsch...außerdem weiß ich auch nicht wieso und wie ich die Art der Monotonie unterscheiden soll. Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke und LG :)

Comments

So geht es jedenfalls nicht, denn \(\sigma\) ist nicht als differenzierbar vorausgesetzt. Und achte auf die Schreibweisen: \(\dot\gamma(\sigma)\) gibt es nicht (\(\dot\gamma(\sigma(t))\) gäbe es). Und was ist das \(\varphi\) und das \(c(\gamma)\) bei Dir?

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Ja, ich war bei der Schreibweise verwirrt weil in der Aufgabenstellung nicht steht, ob \(\sigma\) von t abhängt. Im Skript heißt \(\sigma\) das Gleiche wie \(\varphi\) deswegen hab ich die beiden verwechselt.

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\(\sigma\) ist eine Funktion, die hängt nicht von \(t\) ab. \(\sigma(t)\) ist ein Funktionswert, der hängt von \(t\) ab.

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@ Anonymeuser: Wenn also Differenzierbarkeit nicht benutzt werden darf, was ist denn dann die Definition der Kurvenlänge?

(Übrigens sollte nicht eigentlich vorausgesetzt werden, dass die Kurve rektifizierbar ist?)

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Ich denke schon, die Aufgabe habe ich aber eins zu eins reinkopiert.

Ich habe im Skript folgende Definitionen gefunden:

Sei \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine stetige Kurve und \( P=\left(t_{0}, \ldots, t_{k}\right) \) eine Unterteilung von \( [a, b] .{ }^{21} \) Wir setzen
\( L(P):=\sum \limits_{i=1}^{k}\left\|\gamma\left(t_{i}\right)-\gamma\left(t_{i-1}\right)\right\| \)
(die Länge des von \( P \) beschriebenen "Sehnenpolygons"). Ist \( P^{\prime} \) feiner als \( P \), so gilt nach Dreiecksungleichung \( L\left(P^{\prime}\right) \geq L(P) \).

Eine stetige Kurve \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) heißt rektifizierbar, falls
\( L(\gamma):=\sup \{L(P) \mid P \text { Unterteilung von }[a, b]\} \)
in \( \mathbb{R} \) existiert. In diesem Fall heißt \( L(\gamma) \) Länge von \( \gamma \).

Ich weiß nicht, wie ich hier jetzt die Bijektion \(\sigma\) unterbringen soll. Und den Hinweis der Fallunterscheidung verstehe ich auch nicht wirklich.

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Wie mathhilf schon sagt, muss die Kurve \(\gamma\) rektifizierbar sein (weil sonst \(L(\gamma)\) nicht existiert). (Mindestens) diese Voraussetzung fehlt also.

Lade mal "Bem. 6.12.(1)" hoch (Foto).

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In Teilaufgabe b) sollen wir annehmen das die Kurve rektifizierbar ist, und dann das Gleiche nochmal mit der Formel über die Norm der Ableitung machen. (Das bekomme ich auch hin, nur ohne Fallunterscheidung weil ich immer noch nicht weiß, wozu man die benötigt.)

Hier ist die vollständige Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 2\left(6+4\right. \) Punkte). Seien \( a, b, a^{\prime}, b^{\prime} \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( a^{\prime}<b^{\prime} \). Weiterhin sei \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine stetige Kurve und \( \sigma:\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] \rightarrow[a, b] \) eine stetige und monotone Bijektion. Wir betrachten \( \tilde{\gamma}:=\gamma \circ \sigma \).
(a) Zeigen Sie, dass \( L(\tilde{\gamma})=L(\gamma) \) (das beweist Bemerkung 6.12(1)).
(b) Nehmen Sie zusätzlich an, dass \( \gamma \) und \( \sigma \) stetig differenzierbar sind. Zeigen Sie erneut \( L(\tilde{\gamma})=L(\gamma) \) mit der Formel aus Satz 6.9.

Hinweis: Unterscheiden Sie in beiden Teilaufgaben die Art der Monotonie von \( \sigma \).

Und hier ist Bemerkung 6.12:

Text erkannt:

Bemerkung 6.12. (1) Sei \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine stetige Kurve. Sind \( a^{\prime}, b^{\prime} \in \mathbb{R} \) mit \( a^{\prime}<b^{\prime} \) und \( \sigma:\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] \rightarrow[a, b] \) eine stetige und monotone Bijektion, so ist
\( \tilde{\gamma}:\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad t \mapsto \tilde{\gamma}(t):=\gamma(\sigma(t)) \)
eine Umparametrisierung von \( \gamma \) mit \( L(\gamma)=L(\tilde{\gamma}) \) (da die Sehnenpolygone von \( \tilde{\gamma} \) die selbsen sind wie die von \( \gamma \) ).
(2) Eine stetig differenzierbare Kurve \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) heißt regulär, falls \( \|\dot{\gamma}(t)\| \neq 0 \) für alle \( t \in[a, b] \). Falls \( \gamma \) regulär ist, ist
\( s:[a, b] \rightarrow[0, L(\gamma)], \quad t \mapsto s(t):=\int \limits_{a}^{t}\|\dot{\gamma}(u)\| \mathrm{d} u \)
stetig differenzierbar mit \( s^{\prime}(t)=\|\dot{\gamma}(t)\|>0 \), also ist \( s \) monoton und bijektiv. Somit existiert eine differenzierbare Umkehrfunktion \( \varphi:[0, L(\gamma)] \rightarrow[a, b] \) von \( s \). Für
\( \tilde{\gamma}:[0, L(\gamma)] \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad t \mapsto \tilde{\gamma}(t):=\gamma(\varphi(t)) \)
gilt
\( \dot{\tilde{\gamma}}(t)=\dot{\gamma}(\varphi(t)) \cdot \varphi^{\prime}(t)=\dot{\gamma}(\varphi(t)) \cdot \frac{1}{s^{\prime}(\varphi(t))}=\dot{\gamma}(\varphi(t)) \cdot \frac{1}{\|\dot{\gamma}(\varphi(t))\|}, \)
also \( \|\dot{\tilde{\gamma}}(t)\|=1 \) für alle \( t \). Man nennt \( \tilde{\gamma} \) die natürliche Parametrisierung für \( \gamma \).

Answer 1

Die Antwort für den Fall, dass \(\sigma\) wachsend ist, steht doch schon in der Bemerkung: Die Sehnenpolygone sind dieselben. Formal:

$$L(\gamma,P)=\sum_{i=1}^k\| \gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\|=\sum_{i=1}^k\| \gamma \circ \sigma \circ \sigma^{-1}(t_i)-\gamma \circ \sigma \circ \sigma^{-1}(t_{i-1})\| \\\quad=\sum_{i=1}^k\| \gamma \circ \sigma ( \sigma^{-1}(t_i))-\gamma \circ \sigma (\sigma^{-1}(t_{i-1}))\|=L(\gamma \circ \sigma,Q)$$

Also die Länge eines Sehnenpolynoms für die Parametrisierung \(\gamma \circ \sigma\) zur Unterteilung \(Q=(\sigma^{-1}(t_0), \ldots \sigma^{-1}(t_k)\)

Und umgekehrt.

Comments

Zur Ergänzung etwas genauer: Ein Sehnenpolygon (nicht: ... polynom, typo) der einen Parametrisierung tritt auch bei der anderen Parametrisierung auf. Aber ein Sehnenpolygon zu einer Zerlegung in einer Parametrisierung entspricht in der anderen Parametrisierung einer anderen Zerlegung. Geometrisch sind die SPe gleich.

Insgesamt ist die Menge der SPe in der einen Parametrisierung identisch mit der Menge der SPe in der anderen Parametrisierung. Heißt auch: Rektifizierbarkeit ist in beiden Parametrisierung äquivalent. Aber rektifizierbar muss sie trotzdem nicht sein.