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Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=(x1^0.2 + x2^0.2) ^(1/20)

Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=1.5 und p2=2 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=440.

Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.


• Wie hoch ist die Menge x1x1 in diesem Nutzenoptimum? [100.79 ]
• Wie hoch ist die Menge x2x2 in diesem Nutzenoptimum? [144.41 ]
• Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λλ im Nutzenoptimum? [0.31 ]
• Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau unter gegebener Budgetrestriktion? [62.23 ]


Problem/Ansatz:

meine Ergebnisse stimmen nicht aber ich komme nicht auf die richtigen kann mir bitte jemand helfen. Meine Ergebnisse stehen in der Klammer

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Wie hoch ist die Menge x1x1 in diesem Nutzenoptimum?

Steht dort stattdessen "Menge x1" in der Aufgabe?

3 Antworten

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Das richtige Ergebnis findest Du hier.

Was Du falsch gemacht hast kann man nicht sagen, weil Du den Rechenweg nicht aufgeschrieben hast.

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Aloha :)

Du möchtest gerne die Nuztenfunktion \(U\) unter einer konstanten Kostenfunktion \(K\) optimieren:$$U(x;y)=\left(x^{0,2}+y^{0,2}\right)^{0,05}\to\text{Max!}\quad;\quad K(x;y)=1,5x+2y\stackrel!=440$$

Ohne konstante Nebenbedingung würdest du den Gradienten von \(U\) gleich dem Nullvektor setzen, um die kritischen Punkte \((x;y)\) zu finden. Wenn jedoch konstante Nebenbedingungen vorhanden sind, muss nach Lagrange, der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebnbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}U(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}K(x;y)$$Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der "Lagrange-Multiplikator". Er sollte ungleich Null sein, weil sonst die Nebenbedingung nicht berücksichtigt wird.

Es muss also gelten:$$\binom{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}=\lambda\cdot\binom{\frac{\partial K}{\partial x}}{\frac{\partial K}{\partial y}}=\lambda\cdot\binom{1,5}{2}$$Um den Lagrange-Multiplikator erstmal loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die zweite Koorinate durch die Gleichung für die erste Koordinate:$$\frac{\frac{\partial U}{\partial y}}{\frac{\partial U}{\partial x}}=\frac{\lambda\cdot2}{\lambda\cdot1,5}=\frac{2}{\frac32}=\frac43$$

Zur Berechnung der partiellen Ableitungen von \(U\) brauchen wir die Kettenregel:$$\frac{\partial U}{\partial x}=0,05\cdot(x^{0,2}+y^{0,2})^{-0,95}\cdot0,2x^{-0,8}=0,05\cdot0,2x^{-0,8}\cdot\frac{(x^{0,2}+y^{0,2})^{0,05}}{\left(x^{0,2}+y^{0,2}\right)^1}$$$$\phantom{\frac{\partial U}{\partial x}}=\frac{1}{20}\cdot\frac15\cdot\frac{1}{x^{0,8}}\cdot\frac{U(x;y)}{x^{0,2}+y^{0,2}}=\frac{U(x;y)}{100x^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}$$Da die Funktionsgleichung \(U(x;y)\) in \(x\) und \(y\) symmetrisch ist erhalten wir die partielle Ableitung \(\frac{\partial U}{\partial y}\) in analoger Weise, wir müssen im Ergebnis \(x\) und \(y\) vertauschen:$$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{U(x;y)}{100y^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}$$

Dies setzen wir in die Lagrange-Forderung ein:$$\frac43=\frac{\frac{U(x;y)}{100y^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}}{\frac{U(x;y)}{100x^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}}=\frac{U(x;y)}{100y^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}\cdot\frac{100x^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}{U(x;y)}=\frac{x^{0,8}}{y^{0,8}}=\left(\frac xy\right)^{0,8}$$Diese Gleichung lösen wir nach \(x\) auf:$$\left(\frac43\right)^{\frac54}=\left(\left(\frac xy\right)^{0,8}\right)^{\frac54}=\left(\frac xy\right)^{\frac45\cdot\frac54}=\frac xy\implies\pink{x=\left(\frac43\right)^{\frac54}y\approx1,43276\,y}$$

Die pinke Lagrange-Forderung setzen wir nun in die Nebenbedingung ein:$$440\stackrel!=1,5x+2y=1,5\cdot\pink{1,43276\,y}+2y=4,14914y\quad\implies\quad y=106,04607$$

Mit der pinken Lagrange-Forderung erhalten wir daher das Optimum bei:$$\pink{\text{Max}(151,9386\,\big|\,106,0461)}$$

Das maximal erreichbare Nutzenniveau ist daher: \(\pink{U_{\text{max}}=1,08668}\)

Der Lagrange-Multiplikator folgt z.B. aus der 2-ten Komponene der Graidentengleichung:$$\lambda=\frac12\,\left.\frac{\partial U}{\partial y}\right|_{(x;y)=(151,9386\,\big|\,106,0461)}\approx0,0000246972$$

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Ich hätte erstmal die Wurzel der Nutzenfunktion weggenommen. Eine Wurzel aus einer positiven Zahl wird maximal, wenn der Radikand maximal wird.

D.h. ich würde folgende Lagrange-Funktion benutzen

L(x1, x2, k) = x1^0.2 + x2^0.2 - k*(1.5*x1 + 2*x2 - 440)

Damit komme ich etwa auf folgende Ergebnisse:

x1 = 151.9385657
x2 = 106.0460756
k = 0.002396648361
Umax = 1.086679189

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