Aloha :)
zu a) Wir schreiben die Potenzreihe etwas um:f(x)=k=0∑∞= : ak2kk2⋅(x−3)kNun kannst du den Konvergenzradius r der Potenzreihe bestimmen:r=k→∞lim∣∣∣∣∣ak+1ak∣∣∣∣∣=k→∞lim∣∣∣∣∣∣2k+1(k+1)22kk2∣∣∣∣∣∣=k→∞lim∣∣∣∣∣2kk2⋅(k+1)22k+1∣∣∣∣∣r=k→∞lim∣∣∣∣∣2k2k+1⋅(k+1)2k2∣∣∣∣∣=k→∞lim∣∣∣∣∣∣2⋅(k+1k)2∣∣∣∣∣∣r=2⋅k→∞lim∣∣∣∣∣∣(k+1(k+1)−1)2∣∣∣∣∣∣=2⋅k→∞lim∣∣∣∣∣∣(1−k+11)2∣∣∣∣∣∣=2⋅12=2
Die Potenzreihe konvergiert daher sicher, wenn:∣x−3∣<r⟹∣x−3∣<2⟹−2<x−3<2⟹+31<x<5
An den Rändern des pinken Intervalls kann noch Konvergenz vorliegen, muss aber nicht. Daher prüfen wir die beiden Ränder einzeln ab:f(1)=k=0∑∞2kk2⋅(−2)k=k=0∑∞(−1)k⋅k2↦divergentDa (k2) keine Nullfolge ist, divergiert f(1).
f(3)=k=0∑∞2kk2⋅(2)k=k=0∑∞k2↦∞Da (k2) keine Nullfolge ist, divergiert f(3).
Die Potenzreihe konvergiert also für x∈(1∣5).
zu b) Auch diese Potenzreihe formen wir zunächst etwas um:g(x)=k=0∑∞32k−1k+1⋅(x+2)k=k=0∑∞32k⋅3−1k+1⋅(x+2)k=3⋅k=0∑∞= : ak9kk+1⋅(x+2)kWieder bestimmen wir den Konvergenzradius:r=k→∞lim∣∣∣∣∣ak+1ak∣∣∣∣∣=k→∞lim∣∣∣∣∣∣9k+1k+29kk+1∣∣∣∣∣∣=k→∞lim∣∣∣∣∣9kk+1⋅k+29k+1∣∣∣∣∣r=k→∞lim∣∣∣∣∣k+2k+1⋅9k9k+1∣∣∣∣∣=k→∞lim∣∣∣∣∣k+2(k+2)−1⋅9k9k⋅9∣∣∣∣∣r=k→∞lim∣∣∣∣∣(1−k+21)⋅9∣∣∣∣∣=1⋅9=9
Die Potenzreihe konvergiert daher sicher, wenn:∣x+2∣<r⟹∣x+2∣<9⟹−9<x+2<9⟹−2−11<x<7
An den Rändern des pinken Intervalls müssen wir die Konvergenz noch prüfen:g(−11)=3⋅k=0∑∞9kk+1⋅(−9)k=3⋅k=0∑∞(−1)k⋅(k+1)↦divergentDa (k+1) keine Nullfolge ist, divergiert f(−11).
g(7)=3⋅k=0∑∞9kk+1⋅9k=3⋅k=0∑∞(k+1)↦∞Da (k+1) keine Nullfolge ist, divergiert f(−7).
Die Potenzreihe konvergiert also für x∈(−11∣7).