Vektorfeld und Gradientenfelder

Question

Gradientenfelder:

Überprüfe, ob die folgenden Vektorfelder Gradientenfelder (Potenzialfelder) sind und berechnen Sie ggf. eine Stammfunktion.


a) $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \\ -3\cos(3y) \cos(2x) \end{pmatrix}$
b) $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3x^2 y + 8x y^2 \\ x^3 + 8x^2 y + 12y e^y \end{pmatrix}$

Ich habe aus der Vorlesung nicht wirklich verstehen können wie man aus Vektofeldelder Gradienfelder bestimmt. Kann wer helfen?

Comments

Unter dem Begriff Integrabilitätsbedingung solltest du fündig werden. Gibt unzählige Materialien dazu im Internet.

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Also müsste es ungefähr so sein?

Für $v_1 = 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x)$

$f(x, y) = \int 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \, dx$

Berechnen Stammfunktion:

$f(x, y) = \int 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \, dx$

Benutzen wir partielle Integration:

$\int 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \, dx = 4\sin(3y) \int \sin(x) \cos(x) \, dx$

$\int \sin(x) \cos(x) \, dx = \frac{\sin^2(x)}{2} + C$

Daher ist die Stammfunktion:

$f(x, y) = 2\sin(3y) \sin^2(x) + g(y)$

Für $v_2 = -3\cos(3y) \cos(2x)$:

$\frac{\partial f}{\partial y} = -3\cos(3y) \cos(2x)$

=> $f(x, y) = 2\sin(3y) \sin^2(x) + C$

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Probe nicht vergessen.

Answer 1

Aloha :)

$$\vec v=\left(\begin{array}{c}4\sin(x)\sin(3y)\cos(x)\\[1ex]-3\cos(3y)\cos(2x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\sin(2x)\sin(3y)\\[1ex]-3\cos(2x)\cos(3y)\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec v}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\left(-\cos(2x)\sin(3y)\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(-\cos(2x)\sin(3y)\right)\end{array}\right)=\operatorname{grad}\left(-\cos(2x)\sin(3y)\right)$$

$$\vec v=\left(\begin{array}{c}3x^2y+8xy^2\\[1ex]x^3+8x^2y+12ye^y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\left(x^3y+4x^2y^2\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y\right)\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec v}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\left(x^3y+4x^2y^2\pink{+12(y-1)e^y}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y\right)\end{array}\right)=\operatorname{grad}\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y\right)$$