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Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Flächeninhalt von 40 cm². Eine Kathete ist 16 cm länger als die andere. Wie lang sind die Katheten?
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Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b hat den Flächeninhalt:

A = a * b / 2

Sei die Kathete a 16 cm länger als die Kathete b, also

a = b + 16

dann gilt:

A = ( b + 16 ) * b / 2

Mit A = 40 cm ² ergibt sich daraus:

40 = ( b + 16 ) * b / 2

<=> 80 = b 2 + 16 b

<=> b 2 + 16 b + 64 = 144

<=> ( b + 8 ) 2 = 144

<=> b + 8 = ± √ ( 144 )

<=> b = ± √ ( 144 ) - 8

Die negative Lösung b = ± √ ( 144 ) - 8 kommt im vorliegenden Zusammenhang nicht in Frage (Längen sind immer positiv).
Also:

b = √ ( 144 ) - 8 = 12 - 8 = 4

=> a = b + 16 = 20

Probe:

4 * 20  / 2 = 40 (korrekt)

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