Hallo.
Es gilt nach Kettenregel bzw. Potenzregel
(1/xp)‘ = ( x^(-p) )‘ = -p x^(-p-1) für alle p < 0.
Wir schreiben zuerst f um in f(x) = x^(-1) sin(x).
Für alle x ≠ 0 ist die Ableitung dann mit der Produktregel gegeben als
f‘(x) = (sin(x))‘ x^(-1) + sin(x) (x^(-1))‘
= cos(x)/x - sin(x)/x2.
Wir schreiben f‘ um in
f‘(x) = cos(x)x^(-1) - sin(x)x^(-2). Dann ist die zweite Ableitung analog also durch die Produkt- und Summeregel gegeben und ist
f‘‘(x) = -sin(x)/x - cos(x)/x2 - (cos(x)/x2 - 2sin(x)/x3) = -sin(x)/x - 2cos(x)/x2 + 2sin(x)/x3 = sin(x) (2/x3 - 1/x) - 2cos(x)/x2
Also in kompakter Schreibweise
f‘‘(x) = sin(x) (2/x3 - 1/x) - 2cos(x)/x2.