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Aufgabe:

Es sei w=3+i w=\sqrt{3}+i .

(b) Bestimmen Sie arg(w77)=56π\displaystyle \arg \left(w^{77}\right)=\frac{5}{6} \pi .

(c) Bestimmen Sie i25=i\displaystyle i^{25}= i

(d) Geben Sie w77(8i)25\displaystyle \frac{w^{77}}{(8 \mathrm{i})^{25}} in der Form a+b a+b i mit a,bR a, b \in \mathbb{R} an.   w77(8i)25=2+23i\displaystyle \frac{w^{77}}{(8 \mathrm{i})^{25}}=2+2 \sqrt{3} \mathrm{i}


Problem/Ansatz:

Hallo, könnte mir bitte jemand weiterhelfen und erklären, wie man auf die Teilaufgaben b-d kommt.

LG

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Habt Ihr die Darstellung z=zexp(iarg(z))z=|z|\exp(i \arg(z)) besprochen oder kennt Ihr (nur) den Satz von Moivre?

Die Polarform kenne ich auch.

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Beste Antwort

Beim Potenzieren von komplexen Zahlen bietet sich immer die Euler-Form an. Denn wenn w=reiφw=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}, dann ist wk=rkeikφw^k=r^k\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\varphi}.

Bei b) brauchst du allerdings nur den Winkel. Das wäre dann kφk\varphi. Der ist allerdings schon in a) berechnet worden. Beachte hierbei die 2π2\pi-Periodizität.

Teil c) schaffst du selbst, denn i2=1\mathrm{i}^2=-1, i3=i\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}, i4=1\mathrm{i}^4=1 usw. Schau dir das Muster an. Es gilt i25=i(i4)6\mathrm{i}^{25}=\mathrm{i}\cdot (\mathrm{i}^4)^6.

Bei d) setzt du die vorherigen Resultate zusammen. Den Winkel und Betrag von w77w^{77} kennst du. Nutze (8i)25=825i25(8\mathrm{i})^{25}=8^{25}\mathrm{i}^{25} und 825=(23)25=2758^{25}=(2^3)^{25}=2^{75}.

Du brauchst hier also nur ein bisschen Potenzrechnung und Bruchrechnung.

Avatar von 21 k
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Aloha :)

Gegeben ist uns eine komplexe Zahl:w=3+i\pink{w=\sqrt3+i}

zu a) Wenn es in einer Problemsellung um Potenzen komplexer Zahlen geht, ist es oft ratsam, die Zahl in die Polardarstellung zu konvertieren.

Für eine komplexe Zahl z=x+iyz=x+iy lautet die Polardarstellung:z=reiφ    ;    z=x2+y2    ;    φ={arctan(yx)fu¨x>0arctan(yx)+πfu¨x<0z=r\cdot e^{i\cdot\varphi}\;\;;\;\; z=\sqrt{x^2+y^2}\;\;;\;\;\varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arctan\left(\frac yx\right) &\text{für }x>0\\[1ex]\arctan\left(\frac yx\right)+\pi & \text{für }x<0\end{array}\right.

Beachte die Korrektur +π+\pi, falls der Realteil x<0x<0 ist.

Hier ist der Realteil x>0x>0, sodass die Polardarstellung von ww lautet:w=(3)2+12eiarctan(31)    w=2eiπ/6w=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\cdot e^{i\cdot\arctan\left(\frac{\sqrt3}{1}\right)}\quad\implies\quad\pink{w=2\cdot e^{i\cdot\pi/6}}

zu b) Hier kannst du die Polardarstellung aus Teil (a) einfach einsetzen:w77=(2eiπ/6)77=277ei776π=277e726πe56π=277(ei2π=1)12ei56π=277ei56π\small w^{77}=(2\cdot e^{i\cdot\pi/6})^{77}=2^{77}\cdot e^{i\cdot\frac{77}{6}\,\pi}=2^{77}\cdot e^{\frac{72}{6}\,\pi}\cdot e^{\frac56\,\pi}=2^{77}\cdot(\underbrace{e^{i\,2\pi}}_{=1})^{12}\cdot e^{i\,\frac56\,\pi}=2^{77}\cdot e^{i\,\frac56\,\pi}Der Polarwinkel von w77w^{77} ist also 56π\frac56\,\pi.

zu c) Das hat eigentlich nichts mit der Zahl ww zu tun:i25=i24+1=i24i=(i2)12i=(1)12i=ii^{25}=i^{24+1}=i^{24}\cdot i=(i^2)^{12}\cdot i=(-1)^{12}\cdot i=i

zu d) Hier hilft vor dem Rechnen ein kurzer Blick auf die Polardarstellung von ww, insbesondere auf die dritte Potenz von ww:w3=(2eiπ/6)3=23(eiπ/6)3=8eiπ/2=8iw^3=(2\cdot e^{i\cdot\pi/6})^3=2^3\cdot (e^{i\cdot\pi/6})^3=8\cdot e^{i\cdot\pi/2}=8\,iDamit gehen wir in den Bruch:w77(8i)25=w77(w3)25=w77w75=w2=(3+i)2=(3)2+23i+i2=2+23i\frac{w^{77}}{(8i)^{25}}=\frac{w^{77}}{(w^3)^{25}}=\frac{w^{77}}{w^{75}}=w^2=(\sqrt3+i)^2=(\sqrt3)^2+2\sqrt3\,i+i^2=2+2\sqrt3\,i

Avatar von 153 k 🚀

@T: Ich habe eine Frage zu Deiner Formel für den Winkel: Falls x und y negativ sind, wäre der Winkel größer als π\pi?

@MH: Ja, aber er ist bis auf die Periode 2π2\pi korrekt.

Hoffentlich liest FS noch diese Info

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Hast Du nichts selbst probiert? Mit der Polardarstellung und den Potenzrechenregeln und dem Ergebnis aus a) findest Du einen Winkel, den Du durch Subtrahieren Vielfacher von 2π2\pi in das gewünschte Intervall schiebst, was das argument liefert.

Ähnlich bei den anderen Teilaufgaben. Du merkst dann (wenn Du selbst(!) rechnest), dass zum Potenzieren, ebenso wie Multiplizieren/Dividieren, die Polarform am günstigsten ist. Umwandeln in kartesische Form kann man am Ende immer noch, falls nötig.

Also fang an und probiere. Oder warte halt wieder, bis es Dir jemand vorturnt.

Avatar von 11 k

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