Aloha :)
Gegeben ist uns eine komplexe Zahl:w=3+i
zu a) Wenn es in einer Problemsellung um Potenzen komplexer Zahlen geht, ist es oft ratsam, die Zahl in die Polardarstellung zu konvertieren.
Für eine komplexe Zahl z=x+iy lautet die Polardarstellung:z=r⋅ei⋅φ;z=x2+y2;φ={arctan(xy)arctan(xy)+πfu¨r x>0fu¨r x<0
Beachte die Korrektur +π, falls der Realteil x<0 ist.
Hier ist der Realteil x>0, sodass die Polardarstellung von w lautet:w=(3)2+12⋅ei⋅arctan(13)⟹w=2⋅ei⋅π/6
zu b) Hier kannst du die Polardarstellung aus Teil (a) einfach einsetzen:w77=(2⋅ei⋅π/6)77=277⋅ei⋅677π=277⋅e672π⋅e65π=277⋅(=1ei2π)12⋅ei65π=277⋅ei65πDer Polarwinkel von w77 ist also 65π.
zu c) Das hat eigentlich nichts mit der Zahl w zu tun:i25=i24+1=i24⋅i=(i2)12⋅i=(−1)12⋅i=i
zu d) Hier hilft vor dem Rechnen ein kurzer Blick auf die Polardarstellung von w, insbesondere auf die dritte Potenz von w:w3=(2⋅ei⋅π/6)3=23⋅(ei⋅π/6)3=8⋅ei⋅π/2=8iDamit gehen wir in den Bruch:(8i)25w77=(w3)25w77=w75w77=w2=(3+i)2=(3)2+23i+i2=2+23i