Untervektorraum, Skript anwenden für Beweis

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$\text { c) } U_{3}:=\left\{\left.\left(\begin{array}{l} k_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \right\rvert\, w_{1} v_{2}=v_{3}\right\}$
$O \in U_{3}$ mil $0.0=0 r$
i) $\underbrace{\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)}_{\in U_{3}}+\underbrace{\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 3\end{array}\right)}_{\in U_{3}}=\underbrace{\left(\begin{array}{l}4 \\ 6 \\ 6\end{array}\right)}_{\notin U_{3}}$

Ablerand unter Aeld:
$\forall\left(v_{1}, v_{2}, v_{1}, v_{2}\right)$ und $\forall\left(k_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, v_{1}^{\prime} \cdot v_{2}^{\prime}\right)$ aus ell gill:
$\left(v_{1}, v_{2}, v_{1} \cdot v_{2}\right)+\left(v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, v_{1}^{\prime} \cdot v_{2}^{\prime}\right)=\left(v_{1}+v_{1}^{\prime}, v_{2}+v_{2}^{\prime}, v_{1} \cdot v_{2}+v_{1}^{\prime} \cdot v_{2}^{\prime}\right)^{\top}$

Im grünen Kästchen sieht man offensichtlich, dass U3 kein Untervektorraum ist. Aber im roten Kasten sieht man aus meinen Skript wie Abgeschl. Add. bewiesen wird, und es funktioniert, wie kann das sein? Laut meinen Skript soll ich nullvektor, abgeschl zu mult. und add. zeigen.

Comments

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Was bedeutet .                              . ?

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Ein gelöschter Kommentar.

Answer 1

Hallo.

Bist du dir sicher, das das rote zu dem gehört? Dein Beispiel ist nämlich richtig.

Die Menge U_3 := {(x,y,z)^T ∈ |R³ : xy = z} ist kein linearer Unterraum (Untervektorraum) des |R³.

Der Nullvektor (0,0,0)^T ist drin, wie du richtig sagtest. Das erste Kriterium ist also erfüllt. Jedoch sind die anderen Kriterien i.A. nicht erfüllt. Dein Beispiel passt ganz gut zum Kriterium der Abgeschlossenheit bzgl. Addition.

Es gilt (3,1,3)^T, (1,3,3)^T ∈ U_3, da in beiden Fällen xy = 3 ist so wie z = 3, also xy = z.  Die Summe ist aber (4,4,6)^T und hier gilt xy = 16 ≠ 6 = z, was zeigt, das sie nicht in der Menge liegt.

Wir können auch durch der Skalarmultiplikation sehen, das U_3 kein linearer Unterraum ist. Beispiel: Es gilt (1,1,1)^T ∈ U_3, aber dann ist 0.5 (1,1,1)^T = (0.5, 0.5, 0.5)^T nicht in der Menge, da 0.5*0.5 = 0.25 ≠ 0.5 gilt. Auch allgemein c (1,1,1)^T mit c ∈ |R \ {0,1} wäre genauso nicht in der Menge, da dann für diese c die Ungleichheit c*c = c² ≠ c gilt.

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Unabhängig davon ist die Gleichung xy = z keine lineare Gleichung so wie z.B. x+y = z, was auch ein Grund ist, warum U_3 kein linearer Unterraum (Untervektorraum) sein kann.

Comments

Du hast hier den Begriff "Skalarmultiplikation" (=Muliplikation zweier Vektoren) mit dem Begrff "skalare Multiplikation" (=Vielfachenbildung = Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor) verwechselt. Gemeint ist das Richtige, ein weiteres Argument gegen die Untervektorraum-Eigenschaft.

Ein Skript ist ja üblicherweise kein Manuskript, d.h. mit der Hand geschrieben.
Kann es sein, dass du den Inhalt des roten Kastens verkürzt abgeschrieben und einen einleitenden Text der Art "Um zu zeigen, dass ..., müsste nachgewiesen werden, dass ..." weggelassen hast ? Ein ^T und ein ✓ passen nicht.

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@hj2166 Tatsächlich sind die Begriffe ,,Skalarmultiplikation‘‘ und ,,skalare Multikplikation‘‘ gleichbedeutend . (Siehe z.B. https://de.m.wikipedia.org/wiki/Skalarmultiplikation)

Übrigens: Eine Multiplikation zweier Vektoren ist mathematisch nicht definiert. Du meinst anscheinend das Skalarprodukt, was aber strenggenommen keine Multiplikation von Vektoren ist. Das denken leider viele, aber es ist nicht so.

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Du hast Recht.

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Aus meinen linearen Algebra Kurs hatten wir Übungsblätter mit Untervektorräumen, wo wir deren Eigenschaften durchgegangen sind im Prinzip wie bei meinem roten Kästchen. Ich verstehe nur nicht wie man das anwendet. Also im roten Kasten habe ich es mal versucht und man sieht, dass es wohl funktionieren sollte, tut es aber nicht. Kann mir einer erklären wieso und wie ich es richtig hätte aufschreiben müssen?

Ich hab verstanden, dass das kein Untervektorraum ist, immerhin habe ich ein Beispiel im grünen Kasten gefunden. Aber ich würde einfach gerne wissen wie man es nach dem Prinzip im roten Kasten machen würde, weiß das jemand?

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Dann prüfe doch im roten Kasten mal, ob beim Endergebnis das Produkt der ersten beiden Komponenten tatsächlich die dritte Komponente ergibt.

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es kommt in der dritten komponente v3 + v3' raus, weil v3 = v1*v2 oder?

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Versteht jemand was ich meine?

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Was ist denn noch genau unklar?

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Text erkannt:

Bastay aydf 1.2
$z: u_{\lambda}:=\{(v, \lambda v) / v \in V\} \subset V \oplus V$ fledd einen $U V V R_{\text {van }} V_{\oplus} V$.
Buseis
Ua is dive un VoV, da qill:
(0) $U_{\lambda}+\emptyset_{\text {da }}$ da, 0 ) $\in U_{\lambda}$
$(0, \lambda \cdot 0)$
$\begin{array}{l} \forall(v, 2 v),(v, v, v) \in \mathbb{U}_{\lambda}: \\ (v,>v)+(v, \lambda v)=(v+v, \lambda v v v v v)=\left(v+v^{\prime}, \lambda(v, v)\right) \in U_{\lambda} \end{array}$
$a(v, \lambda\rangle)-(a v, a x v)=(a v, a(x v)) \in \mathbb{U}_{\lambda}$
$\Rightarrow$ thes lief hie an thanalham war.

Hier zb ein ganz anderer Beweis aus meinen Übungsblatt, da habe ich die Eingenschaften so nachgeweisen wie im roten Kästchen. Warum sieht man im roten Kästchen, dass die Eigenschaft erfüllt wird obwohl die nicht erfüllt werden sollte?

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Wenn du offensichtlich einen Untervektorraum hast, so machst du einen Beweis indem du beliebige nicht-konkrete Elemente nimmst und damit die Axiome nachprüfst. Das rote Kästchen ist warscheinlich eine allgemeine Methode das Addition-Axiom bei solchen Beweisen nachzuweisen. Doch wenn du hier eine Menge wie U_3 hast, die kein Untervektorraum ist, so musst du ein Gegenbeispiel finden & mindestens eins der Axiome widerlegen.

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Ja genau, aber das komische ist doch, dass ich ein Gegenbsp für die Addition gefunden hab, aber der allgemeine Beweis für die Addition funktioniert für diesen Vektorraum, da stimmt doch was nicht

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Nein, der Beweis funktioniert eben nicht.

Dann prüfe doch im roten Kasten mal, ob beim Endergebnis das Produkt der ersten beiden Komponenten tatsächlich die dritte Komponente ergibt.

Hast du offensichtlich nicht gemacht.

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Kann mir wer zeigen wie es geht wenn es falsch ist?

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Apfelmännchen hat Dir doch gesagt was zu tun ist. Mach das und lade Deine Überlegung dazu hoch, wenn was unklar ist.

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Nochmal: damit Abgeschlossenheit unter Addition gilt, muss die Summe zweier Vektoren im Vektorraum enthalten sein. Prüfe das, indem du nachrechnest, ob die Summe der beiden Vektoren die Eigenschaften der Menge erfüllt. Da hilft auch kein vormachen, weil es bei jeder Menge anders ist. Es geht hier ums Verständnis. Das bekommst du aber nicht, wenn man du nicht einmal anfängst, das zu tun, was man dir sagt. Wenn etwas unklar ist, sag bitte konkret, was unklar ist. Also:

Dann prüfe doch im roten Kasten mal, ob beim Endergebnis das Produkt der ersten beiden Komponenten tatsächlich die dritte Komponente ergibt.

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Du meinst, weil in der dritten zeile der vektoraddition statt v3 + v3', v1*v2... steht ohne v3? Ich dachte es gilt v3 = v1*v2 oder ist genau das mein Fehler?

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Nein. Du verstehst es immer noch nicht. Damit ein Vektor in der Menge liegt, muss $v_3=v_1v_2$ gelten. Prüfe, ob das für die Summe erfüllt ist.