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Aufgabe:

Wie genau muss man hier vorgehen ?


Problem/Ansatz:

Was muss man hier rechnen ? IMG_7086.jpeg

Text erkannt:

4. Aufgabe
(11 Punkte)

Es sei K : ={xR3 : x21} K:=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{3}:\|\vec{x}\|_{2} \leq 1\right\} die abgeschlossene Kugel mit Radius 1 um den Ursprung in R3 \mathbb{R}^{3} . Für das Vektorfeld F : R3R3 F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} mit
F(x,y,z)=[xz2yx2zy2],[x,y,z]TR3 F(x, y, z)=\left[\begin{array}{l} x z^{2} \\ y x^{2} \\ z y^{2} \end{array}\right], \quad[x, y, z]^{T} \in \mathbb{R}^{3}
berechne man
KF(x),v(x)dσ(x) \int \limits_{\partial K}\langle F(\vec{x}), \vec{v}(\vec{x})\rangle \mathrm{d} \sigma(\vec{x})
wobei v(x) \vec{v}(\vec{x}) den äußeren Normalenvektor an K \partial K in xK \vec{x} \in \partial K bezeichne.

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Wo klemmt es denn genauer?

Das ist zwar eine rechnerisch etwas aufwändigere Aufgabe, man kann sie aber direkt runterrechnen.

Ihr habt doch sicher in euren Unterlagen auch Beispiele.

Ein nach außen gerichteter Normalenvektor an die Kugeloberfläche ist in jedem Punkt der Fläche der zugehörige Radiusvektor. Der hat im vorliegenden Fall sogar gleich die Norm 1.

Um das Integral zu berechnen, bietet es sich an, die Sphäre mit Kugelkoordinaten zu parametrisieren.

Ich weiß nicht wie ich genau anfangen soll, der Ansatz fehlt mir.

2 Antworten

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Beste Antwort

Dein Ansatz, den du oben im Kommentar gemacht hast, sieht schonmal gut aus.

Hier ist ein zum Thema passender Vorlesungsauszug:

Auf Slide198 steht das Oberflächenintegral, um das es in deiner Aufgabe geht. Auf Slides 195/196 ist ein Beispiel mit einer Parametrisierung der Kugeloberfläche.


Hier der weitere Fahrplan für deine Berechnungen:

Du hast bis jetzt den Integranden korrekt aufgestellt:

F(x),v(x)=x2z2+y2x2+z2y2\left\langle F(\vec x) , \vec v(\vec x)\right\rangle =x^2z^2+y^2x^2+z^2y^2

Die Kugelkoordinaten hast du zwar richtig herausgesucht, aber du hast an dieser Stelle noch nicht berücksichtigt, dass es nur um die Oberfläche der Kugel geht, die zu parametrisieren ist:

(Ich hab zum Rechnen die Form der Kugelkoordinaten genommen, bei der der "Äquator" auf 0° liegt, "nördliche Breiten" positive und "südliche Breiten" negative Winkel haben.)

(xyz)=S(ϕ,θ)=(cosϕcosθsinϕcosθsinθ)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = S(\phi,\theta) = \begin{pmatrix} \cos \phi \cos \theta \\ \sin \phi \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} mit θ[π2,π2]\theta \in \left[-\frac{\pi}2 , \frac{\pi}2\right] und ϕ[0,2π]\phi \in [0,2\pi]

Jetzt benötigst du noch das Oberflächenelement dσd\sigma (siehe z. Bsp. oben verlinkten Vorlesungsauszug):

dσ=Sϕ×Sθd(ϕ,θ)=cosθd(ϕ,θ)d\sigma = \left|\left| \frac{\partial S}{\partial \phi} \times \frac{\partial S}{\partial \theta} \right|\right|\, d(\phi,\theta) =\cos \theta\, d(\phi,\theta)

Nun kannst du das Integral berechnen. Setze dazu die Parametrisierung ein und rechne konzentriert und geduldig und nutze so oft es geht, dass sin2t+cos2t=1\sin^2 t + \cos^2 t= 1 gilt. Hier ist eine Möglichkeit, wie der Integrand nach einigen Umformungen aussehen kann:

KF(x),v(x)dσ(x)=...\displaystyle\int_{\partial K}\left\langle F(\vec x) , \vec v(\vec x)\right\rangle d\sigma(\vec x) = ...

...=ϕ=02πθ=π2π2(sin2θ+sin2ϕ(cos2ϕcos2θ+sin2θ))cos3θdθdϕ=...\displaystyle ... = \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\left(\sin^2 \theta + \sin^2 \phi (\cos^2 \phi \cos^2 \theta + \sin^2 \theta)\right)\cos^3 \theta \, d\theta\, d\phi = ...

...=45π... = \frac 45 \pi

Du kannst zum Beispiel zuerst nach θ\theta integrieren und nutzen, dass cosθdθ=d(sinθ)\cos \theta \,d\theta = d(\sin \theta) gilt. Danach integrierst du nach ϕ\phi.


p.s.:
Hier ist die Berechnung des Integrals direkt nach Einsetzen der Parametrisierung. Offenbar hat WolframAlpha ein Problem, diesen langen Integranden korrekt darzustellen. Bei mir ist das letzte cosu\cos u vor den Differentialen umgebrochen.

Avatar von 12 k
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hallo

du hast den Normalenvektor r=(xyz) \vec{r}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} auf der Kugeloberfläche den du mit dem Vektorfeld skalar multiplizierst, danach wie schon gesagt am einfachsten in Kugelkoordinaten rechnen , reicht das als Anfang oder was fehlt noch? Flächenelement kennst du? oder schlags in wiki nach.

Avatar von 108 k 🚀

Also das habe ich jetzt aufgestellt jetzt kann ich dieses Integral berechnen oder? Also das Integral wo K steht. IMG_7162.jpeg

Text erkannt:

Gegegeben: Klausur wise 201512016
F(x,y,z)=[xz2yx2zy2],[xyz]R3 dius k \begin{array}{l} F(x, y, z)=\left[\begin{array}{l} x z^{2} \\ y x^{2} \\ z y^{2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} \\ \text { dius } \\ \int \limits_{\partial k} \end{array}

Gesucht:

Hinweis: v(x) \vec{v}(\vec{x}) der äußere Normalenvektor an K \partial K in xK \vec{x} \in \partial K .
K : ={xR3 : x21} K:=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{3}:\|\vec{x}\|_{2} \leq 1\right\}

Normalenvektor r=(xyz) \vec{r}=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)
Normalenvektor mit vektorfeld multiplizeren :
(xyz)(xz2yx2zy2)=xxz2+yyx2+zzy2=x2z2+y2x2+z2y2x=rsinvcosφ,y=rsinφsinv,z=rcosvdxdydz=r2sinvdrdvdφ \begin{aligned} \left\langle\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x z^{2} \\ y x^{2} \\ z y^{2} \end{array}\right)\right\rangle & =x \cdot x z^{2}+y \cdot y x^{2}+z \cdot z y^{2} \\ & =x^{2} z^{2}+y^{2} x^{2}+z^{2} y^{2} \\ x=r \sin v \cos \varphi, y & =r \sin \varphi \sin v, z=r \cos v \\ d x d y d z & =r^{2} \sin v d r d v d \varphi \end{aligned}

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