Berechnen Sie Divergenz und Rotation für das Vektorfeld \vec{F}(\vec{x})=(\begin{array}{c}x2 \\ y \\ …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

a) Gegeben sei die Funktion $f(\vec{x})=\frac{x(z+1)}{y^{2}+1}$.
Geben Sie das totale Differential der Funktion $f(\vec{x})$ an und berechnen Sie den Wert des totalen Differentials an der Stelle $x_{0}=(1,2,0)$.
b) Berechnen Sie Divergenz und Rotation für das Vektorfeld $\vec{F}(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}x^{2} \\ y \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{array}\right)$.

Problem/Ansatz:

Was ist das totale Differential?

Comments

Totales Differential = Frechet-Ableitung = Ableitung = Jacobi-Matrix

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential ist die Jacobi-Matrix, die im Fall einer Funktion $\mathbb R^n\to\mathbb R$ gleich dem Gradienten ist:

$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\begin{pmatrix}\partial_x f\\\partial_y f\\\partial_z f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{z+1}{y^2+1}\\[1ex]-\frac{2xy(z+1)}{(y^2+1)^2}\\[1ex]\frac{x}{y^2+1}\end{pmatrix}\implies\operatorname{grad}f(1;2;0)=\begin{pmatrix}1/5\\-4/25\\1/5\end{pmatrix}=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}5\\-4\\5\end{pmatrix}$$

Die Divergenz und die Rotation des anderen Vektorfeldes lauten:$$\operatorname{div}\vec F(\vec x)=\operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x^2\\y\\x^2+y^2+z^2\end{array}\right)=\frac{\partial(x^2)}{\partial x}+\frac{\partial(y)}{\partial y}+\frac{\partial(x^2+y^2+z^2)}{\partial z}=2x+1+2z$$

$$\operatorname{rot}\vec F(\vec x)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}x^2\\y\\x^2+y^2+z^2\end{array}\right)=\begin{pmatrix}2y-0\\0-2x\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\-2x\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

Das totale Differential einer Funktion $f:\,\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ ist

        $\mathrm{d}f = \sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$.