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Aufgabe:

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a) Gegeben sei die Funktion \( f(\vec{x})=\frac{x(z+1)}{y^{2}+1} \).
Geben Sie das totale Differential der Funktion \( f(\vec{x}) \) an und berechnen Sie den Wert des totalen Differentials an der Stelle \( x_{0}=(1,2,0) \).
b) Berechnen Sie Divergenz und Rotation für das Vektorfeld \( \vec{F}(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}x^{2} \\ y \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Was ist das totale Differential?

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Totales Differential = Frechet-Ableitung = Ableitung = Jacobi-Matrix

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Beste Antwort

Aloha :)

Das totale Differential ist die Jacobi-Matrix, die im Fall einer Funktion \(\mathbb R^n\to\mathbb R\) gleich dem Gradienten ist:

$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\begin{pmatrix}\partial_x f\\\partial_y f\\\partial_z f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{z+1}{y^2+1}\\[1ex]-\frac{2xy(z+1)}{(y^2+1)^2}\\[1ex]\frac{x}{y^2+1}\end{pmatrix}\implies\operatorname{grad}f(1;2;0)=\begin{pmatrix}1/5\\-4/25\\1/5\end{pmatrix}=\frac{1}{25}\begin{pmatrix}5\\-4\\5\end{pmatrix}$$

Die Divergenz und die Rotation des anderen Vektorfeldes lauten:$$\operatorname{div}\vec F(\vec x)=\operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x^2\\y\\x^2+y^2+z^2\end{array}\right)=\frac{\partial(x^2)}{\partial x}+\frac{\partial(y)}{\partial y}+\frac{\partial(x^2+y^2+z^2)}{\partial z}=2x+1+2z$$

$$\operatorname{rot}\vec F(\vec x)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}x^2\\y\\x^2+y^2+z^2\end{array}\right)=\begin{pmatrix}2y-0\\0-2x\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\-2x\\0\end{pmatrix}$$

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Das totale Differential einer Funktion \(f:\,\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) ist

        \(\mathrm{d}f = \sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i\).

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