Ich verstehe deine Notation für die Definition des Vektorraumes nicht so wirklich.
Verstehen würde ich, wenn V z.B. die Menge aller Polynome zweiten Grades ist, oder so etwas. Was soll dieses hf, g, hi bedeuten?
1.) kann ich daher schlecht beweisen.
2.) Das Symbol 1Z0 verstehe ich um ehrlich zu sein auch nicht so ganz, ich nehme an, es bedeutet das Integral von 0 bis 1?
Nun, falls das so ist, müssen drei Bedingungen erfüllt sein, damit es sich um ein Skalarprodukt handelt:
i) Linear in einem Argument:
<x+y, z> = <x,z> + <y,z>
<λx, y> = λ<x, y>
ii) Kommutativ:
<x, y> = <y, x>
iii) Positiv definit:
<x, x> ≥ 0, <x, x> = 0 nur für x=0
i)
$$ \begin{array} { l } { < \phi ( t ) + \psi ( t ) , \xi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \phi ( t ) + \psi ( t ) ) \xi ( t ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \phi ( t ) \xi ( t ) + \psi ( t ) \xi ( t ) ) d t } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \xi ( t ) d t + \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi ( t ) \xi ( t ) d t = < \phi ( t ) , \xi ( t ) > + < \psi ( t ) , \xi ( t ) > } \end{array} $$
Und für einen Skalar λ:
$$ \begin{array} { l } { < \lambda \phi ( t ) , \xi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \lambda \phi ( t ) ) \xi ( t ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda ( \phi ( t ) \xi ( t ) ) d t } \\ { = \lambda \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \xi ( t ) d t = \lambda < \phi ( t ) , \xi ( t ) > } \end{array} $$
ii)
$$ \begin{array} { l } { < \phi ( t ) , \xi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \xi ( t ) d t } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ( t ) \phi ( t ) d t = < \xi ( t ) , \phi ( t ) > } \end{array} $$
iii) Hier brauchen wir noch eine kleine Abschätzung.
$$ < \phi ( t ) , \phi ( t ) > = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) \phi ( t ) d t \\ = \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ( t ) ^ { 2 } d t \geq \min _ { 0 \geq x \geq l } \left\{ \phi ( t ) ^ { 2 } \right\} \int _ { 0 } ^ { 1 } d t = \min _ { 0 \geq x \geq l } \left\{ \phi ( t ) ^ { 2 } \right\} $$
φ(t)² ist aber immer größer oder gleich 0, also ist auch das Minimum immer größer oder gleich 0, was zu zeigen war.
Der zweite Teil ist etwas schwieriger zu zeigen. Das ganze funktioniert nicht mehr, wenn phi(t) nicht stetig ist. Ich werde es mal aus Plausibilitätsgründen erläutern:
Das Integral soll 0 sein. Allerdings addieren wir immer positive Werte auf, denn phi(t)² ist immer größer oder gleich 0. Wenn man erstmal nur von 0 bis b integriert und dabei phi irgendwo von 0 verschieden ist, kommt also zwangsläufig etwas positives heraus - das kann nun im Intervall b bis 1 aber nicht mehr ausgeglichen werden, denn dafür müsste phi² ja negativ sein, was nicht möglich ist.
3.) Das Orthogonalisierungsverfahren funktioniert folgendermaßen:
Beginne mit einem Vektor v1, er wird der erste neue Basisvektor w1. Definiere dann rekursiv:
wn = vn - <vn, wn-1>,wn-1/|wn-1|2 - ... - <vn, w1>w1/|w1|2
Beginnen wir z.B. mit w1 = 1.
Dann ist der zweite Basisvektor:
w2 = v2 - <v2, w1>w1/|w1|2
|w1| ist einfach ∫01 dt = 1.
$$ w _ { 2 } = x - \int _ { 0 } ^ { l } t d t = x - \left[ \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = x - \frac { 1 } { 2 } $$
Berechnen wir erstmal |w2|:
$$ \left| w _ { 2 } \right| ^ { 2 } = < w _ { 2 } , w _ { 2 } > = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( t - 1 / 2 ) ( t - 1 / 2 ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( t - 1 / 2 ) ^ { 2 } d t = \left[ \frac { ( t - 1 / 2 ) ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 24 } + \frac { 1 } { 24 } = \frac { 1 } { 12 } $$
Also:
$$ w _ { 3 } = x ^ { 2 } - 12 \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } \left( t - \frac { 1 } { 2 } \right) d t ( x - 1 / 2 ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } d t = x ^ { 2 } - 12 \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( t ^ { 3 } - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right) d t \cdot ( x - 1 / 2 ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { 2 } d t = x ^ { 2 } - 12 \left[ \frac { t ^ { 4 } } { 4 } - \frac { t ^ { 3 } } { 6 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } \cdot ( x - 1 / 2 ) - \left[ \frac { t ^ { 3 } } { 3 } \right] _ { 0 } ^ { 1 } = x ^ { 2 } - \frac { 12 } { 12 } \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { 1 } { 3 } = x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 6 } $$
Die orthogonalisierte Basis lautet also:
(1, x-1/2, x²-x+1/6)
