Koordinatengleichung einer Ebene, in der alle Punkte liegen, die von P und Q gleich weit entfernt …

Question

Hallo zusammen, ich habe die folgende Aufgabe gegeben:

Gegeben sind die punkte P(1|4|6) und Q(3|-4|-2). Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung einer Ebene, in der alle Punkte liegen, die von P und Q gleich weit entfernt sind.

Kann mir jemand hier weiterhelfen? Ich kann zwar den Abstand zwischen P und Q berechnen, der ist

|VektorPQ|=(2²+(-8)²+(-8)²)^1/2=2✓33

Aber ich weiß leider nicht wie ich weiter vorgehen muss und wäre um Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Du musst dir zunächst klar machen, wie "der" Abstand einer Ebene $E$ von einem Punkt $P$ definiert ist. Eine Ebene $E$ hat ja unendlich viele Punkte und für jeden dieser Punkte kannst du den Abstand zum Punkt $P$ berechnen. Das liefert dir unendlich viele Abstände. Was soll dann "der" Abstand der Ebene $E$ von dem Punkt $P$ sein? Gemeint ist damit der kürzeste Abstand, den ein Punkt der Ebene $E$ zum Punkt $P$ hat.

In der Aufgabe selbst fangen wir erstmal klein an und suchen uns einen Punkt $M$, der gleich weit von den Punkten $P(1|4|6)$ und $Q(3|-4|-2)$ entfernt ist, also den Mittelpunkt der Strecke $\overline{PQ}$:$$\vec m=\frac12\cdot\left(\vec p+\vec q\right)=\frac12\cdot\begin{pmatrix}1+3\\4-4\\6-2\end{pmatrix}=\frac12\cdot\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$$

Die gesuchte Ebene $E$ muss durch diesen Punkt $M(2|0|2)$ gehen. Damit haben wir schon mal einen Punkt, an dem wir die gesuchte Ebene befestigen können. Außerdem ist der Punkt $M(2|0|2)$ derjenige Punkt in der Ebene $E$ mit dem kürzesten Abstand zu $P$ und $Q$.

Die Orientierung der Ebene ergibt sich daraus, dass die Strecke $\overline{PQ}$ auf ihr senkrecht stehen muss. Insbesondere muss also der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ auf der Ebene senkrecht stehen. Damit kennen einen Normalenvektor $\vec n$ der gesuchten Ebene:$$\vec n=\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p=\left(\begin{array}{r}3-1\\-4-4\\-2-6\end{array}\right)=\begin{pmatrix}2\\-8\\-8\end{pmatrix}$$

Alle Ortsvektoren $(x;y;z)\in\mathbb R^3$, die vom Koordinatenursprung zur gesuchten Ebene führen, müssen denselben Abstand (also dieselbe Projektion) auf diesen Normalenvektor $\vec n$ haben, wie der Ortsvektor zum Mittelpunkt $M$:$$\vec n\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\vec n\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$$

Das führt auf die Koordinatengleichng:$$2\cdot x-8\cdot y-8\cdot z=2\cdot 2-8\cdot0-8\cdot2=-12$$$$x-4y-4z=-6$$

Comments

Danke, das hab ich verstanden! Super ausführlich erklärt!

Answer 2

P(1 | 4 | 6) und Q(3 | -4 | -2)

Mittelpunkt zwischen P und Q

M = 1/2·(P + Q) = 1/2·([1,4,6] + [3,-4,-2]) = [2, 0, 2]

Normalenvektor ist ein Vielfaches des Richtungsvektors von P nach Q

k·n = Q - P = [3,-4,-2] - [1, 4, 6] = [2, -8, -8] = 2·[1, -4, -4]

Ebenengleichung in Koordinatenform

E: X·[1, -4, -4] = [2, 0, 2]·[1, -4, -4]
E: x - 4·y - 4·z = -6

Answer 3

Du brauchst die mittelsenkrechte Ebene zu den beiden Punkten.

Bestimme dazu den Mittelpunkt der Strecke PQ und bilde mit ihm und dem

Vektor von P nach Q als Normalenvektor die Ebenengleichung.