(Dreifach-)Integral über Quader beweisen

Question

Aufgabe:

Sei $Q$ ein Quader $Q := \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid a \leq x \leq b, \; c \leq y \leq d, \; e \leq z \leq f\}$.

Zeigen Sie, dass gilt:

$\iint_Q f(x) g(y) h(z) \, dx \, dy \, dz = \left( \int_a^b f(x) \, dx \right) \cdot \left( \int_c^d g(y) \, dy \right) \cdot \left( \int_e^f h(z) \, dz \right)$

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so wirklich wie ich es beweisen soll. Bzw. weiß ich nicht wie ich da Anfangen soll es zu beweisen. Kann jemand mir bitte helfen?

Comments

Das Prinzip könnte sein, das Volumenintegral/Dreifachintegral in ein iteriertes Integral zu überführen (evtl. mit Fubini/Tonelli) und dann die Linearität des Integrals anzuwenden.

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Meinst du ungefähr so?

$\iiint_Q f(x) g(y) h(z) \, dx \, dy \, dz$

$= \int_c^d \int_e^f \int_a^b f(x) g(y) h(z) \, dx \, dz \, dy$

$= \int_c^d \int_e^f g(y) h(z) \left( \int_a^b f(x) \, dx \right) \, dz \, dy$

$= \int_c^d \int_e^f g(y) h(z) \cdot C \, dz \, dy \quad \text{mit} \quad C = \int_a^b f(x) \, dx$

$= C \int_c^d g(y) \left( \int_e^f h(z) \, dz \right) \, dy$

$= C \cdot D \int_c^d g(y) \, dy \quad \text{mit} \quad D = \int_e^f h(z) \, dz$

$= \left( \int_a^b f(x) \, dx \right) \cdot \left( \int_c^d g(y) \, dy \right) \cdot \left( \int_e^f h(z) \, dz \right)$

Answer 1

Hallo

1. das dreifach Integral aufschreiben, zeigen bzw sagen dass die Integrationen über x unabhängig von y, und z sind, wegen der festen grenzen. Daraus folgt, dass man die Integrationen nacheinander ausführen kann, was dasselbe ist, wie das gegebene Produkt.

lul

Comments

Oki, ich Versuche es mal Mathematisch umzusetzen. Danke!