Trigonometrischer Beweis des Satzes von Pythagoras

Question

Seien a und b die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ABC mit der Hypotenusenlänge c und dem Inkreisradius r. α sei der Innenwinkel des Dreiecks ABC gegenüber der Seite mit der Länge a. Drücke tan(α/2) elementargeometrisch mit den gegebenen Längen aus und ersetze r durch a, b und c. Damit sei eine Formel #1 gewonnen. Verwende für tan(α/2+α/2) das Additionstheorem mit der eingesetzten Formel #1 und vergleiche mit tan(α)=a/b. Wie erhält man so den Satz von Pythagoras?     

Comments

Meinst du den=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#a…

lul

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lul,

danke für den sehr interessanten Artikel. Von diesen 5 Beweisen meine ich keinen. Das hättest du aber auch ohne Nachfrage wissen können, da ich eine Beweisskizze geschildert hatte.

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Damit sei Formel 1 gewonnen.

Ob man damit die Formel 1 gewinnt, wage ich zu bezweifeln. ;)

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Deinen Witz, Apfelmännchen, habe ich zum Anlass einer kleinen Korrektur meines Textes genommen.

Answer 1

tan(α/2) = r/(b - r)

mit r = (a + b - c)/2

tan(α/2) = ((a + b - c)/2)/(b - ((a + b - c)/2)) = - (a + b - c)/(a - b - c)

tan(α/2 + α/2) = ((- (a + b - c)/(a - b - c)) + (- (a + b - c)/(a - b - c)))/(1 - (- (a + b - c)/(a - b - c))²) = (a + b - c)·(a - b - c)/(2·b·(a - c)) = a/b → a² + b² = c²

Comments

Unter dem → verbirgt sich entweder Computer-Algebra oder eine Folge trickreicher äquivalenter Umformungen.

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So wild sind die Umformungen nicht, aber ich lasse sowas normal von einem CAS machen.

(a + b - c)·(a - b - c)/(2·b·(a - c)) = a/b

Mit Haupnenner multiplizieren

(a + b - c)·(a - b - c) = 2·a·(a - c)

Ausmultiplizieren

a² - 2·a·c - b² + c² = 2·a² - 2·a·c

Vereinfachen

a² + b² = c²