Aufgabe:
Es seien (G,∘) und (H,∗) Gruppen.
(a) Wann heißt eine Abbildung ϕ : G→H ein Gruppenhomomorphismus?
(b) Es seien ϕ,ψ : G→H zwei Gruppenhomomorphismen. Zeigen Sie, dass
U : ={g∈G∣ϕ(g)=ψ(g)}
eine Untergruppe von G ist.
(c) Es sei G=H=S3 die Gruppe der Permutationen von {1,2,3}. Finden Sie einen Homomorphismus ϕ : S3→S3, für den die Untergruppe
{g∈S3∣ϕ(g)=g}
genau zwei Elemente enhält.
Hinweis:
Nutzen Sie den Signaturhomomor phismus:
sgn : Sn→{−1,1},σ↦(−1)∣linv(σ)∣
wobei
inv(σ)={(i,j)∈{1,…,n}×{1,…,n}∣i<j,σ(i)>σ(j)}
Problem/Ansatz:
Hallo! Wäre mein Lösungsweg hier ansatzweise korrekt?
(a) Eine Abbildung ϕ : G→H heißt Gruppenhomomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaft erfüllt: ϕ(a∘b)=ϕ(a)∗ϕ(b) für alle a,b∈G
(b) Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe ist, müsste man drei Eigenschaften nachweisen:
Abgeschlossenheit: Für a,b∈U gilt a∘b∈U
Neutrales Element: eG∈U
Inverse Elemente: Für a∈U gilt a−1∈U
Beweis:
Seien a,b∈U. Dann:
ϕ(a∘b)=ϕ(a)∗ϕ(b)=ψ(a)∗ψ(b)=ψ(a∘b)
Also ist a∘b∈U
Für das neutrale Element eG :
ϕ(eG)=eH=ψ(eG), also eG∈U
Sei a∈U. Dann:
ϕ(a−1)=[ϕ(a)]−1=[ψ(a)]−1=ψ(a−1)
Also ist a−1∈U
Damit ist U eine Untergruppe von G.
(c) Für S3 könnte man den Signaturhomomorphismus verwenden:
S3 hat 6 Elemente: {e,(12),(13),(23),(123),(132)}
Man definiere ϕ : S3→S3 als:
ϕ(g)={g(12)∘g wenn sgn(g)=1 wenn sgn(g)=−1
Die Menge {g∈S3∣ϕ(g)=g} besteht dann aus genau zwei Elementen:
dem neutralen Element e
der 3-Zykel (123)
Dies funktioniert, weil:
Für gerade Permutationen (sgn(g)=1) : nur e und (123) werden auf sich selbst abgebildet
Für ungerade Permutationen (sgn(g)=−1 ): keine wird auf sich selbst abgebildet
Vielen dank!