Brüche vereinfachen, schwierigere Aufgaben

Question

Ich soll folgende zwei Brüche vereinfachen: n - (n/(1-1/n)) 1/1+x^p-q + 1/1+x^q-p Ist hier x^p-q und x^q-p das Gleiche?

Answer 1

n - n/(1 - 1/n)

= n - n/(n/n - 1/n)

= n - n/((n - 1)/n)

= n - n^2/(n - 1)

= n·(n - 1)/(n - 1) - n^2/(n - 1)

= (n^2 - n)/(n - 1) - n^2/(n - 1)

= - n/(n - 1)

= n/(1 - n)

Comments

1/(1 + x^p - q) + 1/(1 + x^q - p)

Hier sehe ich nur auf den Hauptnenner bringen und addieren. Das ist aber nicht einfacher. Ist meine Annahme des Bruches denn richtig?

= (x^p + x^q - p - q + 2)/((x^p - q + 1)·(x^q - p + 1))

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Der Bruch lautet folgendermaßen: 1/(1+x^{p-q}) + 1/(1+x^{q-p}). Ist x^{p-q} das Gleiche wie x^{q-p}?

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Nein. Das ist nicht das gleiche

1/(1 + x^{p - q}) + 1/(1 + x^{q - p})

z = p - q

= 1/(1 + x^z) + 1/(1 + x^{- z})

= 1/(1 + x^z) + 1/(1 + 1/x^z)

= 1/(1 + x^z) + 1/(x^z/x^z + 1/x^z)

= 1/(1 + x^z) + 1/((x^z + 1)/x^z)

= 1/(1 + x^z) + x^z/(x^z + 1)

= (1 + x^z)/(1 + x^z)

= 1

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Hast du p - q durch z substituiert und dann wird daraus einmal z und einmal - z?

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Ja genau. Ist ja einfacher zu schreiben als immer p - q zu schreiben.