Berechnen sie den Grenzwert der Rekusiven Folge

Question

Aufgabe

Berechnen sie den Grenzwert der Rekusiven Folge

a1= 2

an+1= \( \sqrt[3]{2an²–an} \)

(3Wurzel)

Problem/Ansatz

ich weiß der Grenzwert ist 1 da die Folge beschränkt ist zwischen 1 und 2 weiß aber nicht wie ich das beweisen kann

klar ist auch lim von an ist gleich dem von an+1

Beweist man hier mit sandwich lemma oder grenzwertsätzen

LG

Comments

Normalerweise kann man hier das ganze zweiteilen.

Schritt 1 wäre die Konvergenz. Hier könntest du zum Beispiel argumentieren mit monotoner Konvergenz. Deine Folge ist mindestens $1$ und monoton fallend, damit bekommst du die Konvergenz direkt geschenkt.

Schritt 2 ist der eigentliche Grenzwert. Erst wenn du Schritt 1 etabliert hast, kannst du jetzt folgern, dass dein Grenzwert $x$ eine reelle Zahl $x\geq 1$ sein muss, die $x^3=2x^2-x$ erfüllt.

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Danke dir :)

Den ersten Schritt habe ich schon erledigt.

Kannst du mir eventuell noch kurz erklären warum der Grenzwert diese Gleichung erfüllen muss.

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Vlt kann ein Mod. den Text sauber darstellen. Sieht so schrecklich aus.

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Schritt 1 wäre die Konvergenz. Hier könntest du zum Beispiel argumentieren mit monotoner Konvergenz. Deine Folge ist mindestens $1$ und monoton fallend, damit bekommst du die Konvergenz direkt geschenkt.

Das muss man erst mal nachweisen.

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Ich weiß, deshalb war das ein Kommentar und keine Antwort. Etwas Arbeit muss man dem FS ja überlassen^^

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Etwas Arbeit muss man dem FS ja überlassen

Eine vernünftige Einstellung.

Answer 1

Für den Grenzwert gilt

lim (n → ∞) a(n+1) = lim (n → ∞) a(n)

a = (2·a² - a)^(1/3) --> a = 1 (∨ a = 0)

Schaffst du meinen Ansatz nach a aufzulösen?

Kannst du sonst noch zeigen, dass für a1 = 2, die Folge streng monoton fallend ist, aber als untere Schranke die 1 hat.

Comments

Für den Grenzwert gilt

a(n+1) = a(n)

Das halte ich für äußerst fragwürdig.
Außerdem ist eine Folge nicht notwendigerweise konvergent, wenn sie streng monoton fallend ist.

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Ja das schaffe ich

Vielen Dank

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@Arsinoé4

Ich habe dem Text etwas mehr Feinschliff verabreicht.