Partielle Differentialgleichung: Partikulärer Teil

Question

Zu lösen ist die Aufgabe $$u_t (x,t)+2u_x (x,t)=u_{xx} (x,t) \text{ } \forall t \gt0,\text{ } x \in \mathbb {R} \text{ sodass } u(x,0)=sinx \text{ } \forall x \in \mathbb{R}$$

Ich habe schon mal mit Laplace-Transformationenn angefangen und bin so auf $$\tilde{u}_{xx}-2\tilde{u}_x-s\tilde{u}=-sinx$$ gekommen und habe also als $$u_h= c_1 e^{(1+\sqrt{1+s})x}+c_2e^{(1-\sqrt{1+s})x}.$$ Jetzt hänge ich am partikulären Teil irgendwie fest. Als Ansatz habe ich $$\tilde{u}_p=A(s)cosx+B(s)sinx$$ und komme damit auf $$A(s)= -\frac{s+2}{s^2-5} \text{ und } B(s)= \frac{1}{s^2-5}$$

Dann fallen ja die e-Terme weg (also c1 und c2 sind 0) und übrig bleibt $$\tilde{u}(x,s)=\frac{cosx-(2+s)sinx}{s^2-5}.$$ Wenn ich das mit Laplace-Inversen transformiere komme ich auf $$u(x,t)=(\frac{sinh(\sqrt{5}t}{\sqrt{5}})(-2sinx+cosx)-sinxcosh(\sqrt{5}t)$$

Das löst auch u(x,0)=sinx, aber wenn ich es in die PDG einsetze, löst es eben nicht $$u_t (x,t)+2u_x (x,t)=u_{xx}.$$ Kann mir evtl. jemand sagen, an welcher Stelle mein Fehler liegt? Bin für jeden Tipp dankbar :)

Comments

Ich habe es nicht nachgerechnet, aber hast Du evtl A(s) und B(s) verwechselt?

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Danke, das was tatsächlich ein Fehler. Jetzt habe ich allerdings ein neues Problem:

$$\tilde{u}(x,s)=-\frac{(2+s)cosx-sinx}{s^2-5}$$ löst leider jetzt nichtmal mehr die Bedingung u(x,0)=sinx, jetzt kommt da nämlich -cosx raus... Aber danke für den Hinweis, das hat mich auf jeden Fall weiter gebracht :)

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Musst Du nicht erst zurücktransformieren?

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Sorry, ja, hatte ich vergessen zu schreiben. Ich habe damit jetzt $$u(x,t)=\frac{sinh(\sqrt{5}t)}{\sqrt{5}}(-2cosx+sinx)-cosxcosh(\sqrt{5}t)$$ und komme damit auf u(x,0)=-cosx und nicht sinx...

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Habe mal nachgerechnet und erhalte andere Lösungen für A in B, nämlich

A=-2/(5+2s+s²), B=(1+s)/(5+2s+s²)

(Handrechnung, ohne Garantie)

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Danke, auch da hatte ich A und B vertauscht...

Jetzt komme ich auf $$\tilde{u}(x,s)=-\frac{2cosx-(s+1)sinx}{s^2-5}$$ und damit auf $$u(x,t)=-cosxsin(2t)e^{-t}+sinxcos(2t)e^{-t}=e^{-t}sin(x-2t)$$

Jetzt löst u(x,0)=sinx und außerdem die PDG. Tausend Dank dir!!