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Text erkannt:

\( \begin{array}{c} a_{1}=1 \quad a_{n+1}:=\frac{1}{1+a_{n}} \\ \quad \downarrow \text { fallenol } \\ a_{2}=\frac{1}{2}=0,25 \\ a_{3}=\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=0,66 \\ \quad \downarrow \text { steigend } \\ a_{4}=\frac{\frac{1}{5}}{3}=\frac{3}{5}=0,6 \\ a_{5}=\frac{1}{\frac{9}{5}}=\frac{5}{8}=0,625 \end{array} \)

In gerade = Teilfolgen mon. stejend
Hn unperade = Teilfogen mon. fallend
Beschränkt heit : in gerade
\( \begin{array}{l} a_{2 n} \leq 1=\frac{1}{2} \leq 1 / \\ a_{2 n+2} \leq 1 \\ a_{2 n+2}=\frac{1}{1+a_{2 n-1}} \\ \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n}}}=\frac{1}{\frac{a_{2 n}+2}{1+a_{2 n}}}=\frac{a_{2 n}+1}{a_{2 n+2}} \leq 1 \\ \quad \begin{array}{c} \text { Nenner }>\text { Loiner } \end{array} \end{array} \)

Beschränktheit: n ungerade
\( \begin{array}{lll} a_{2 n+1} \geq 0 & (\mid S): a_{2 n+3} \geq 0 \\ \frac{2}{3} \geq 0 & \frac{1}{1+\frac{1}{a_{2 n+2}}}= & \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n+1}}} \end{array} \quad \frac{1}{\frac{a_{2 n+1}+2}{1+a_{2 n+1}}} \quad \frac{a_{2 n+1}+1}{a_{2 n+1}+2} \geq 0 . \)

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Text erkannt:

Monotonie \( n \) gerade
\( \begin{array}{l} a_{2 n}<a_{2 n+2} \\ (1 A): a_{2}<a_{4} \quad \frac{1}{2}<\frac{2}{5} \\ (1 S): a_{2 n+2}<a_{2 n+4} \\ \frac{1}{1+a_{2 n+1}}<\frac{1}{1+a_{2 n+3}} \\ \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n}}}<\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2 n+2}}} \\ \frac{1}{a_{2 n+2}}=\frac{a_{2 n}+1}{a_{2 n+1}}=\frac{1}{a_{2 n+2}+2}<\frac{a_{2 n+2}+2}{a_{2 n+2}+1}=\frac{a_{2 n+2}+1}{a_{2 n+2}+2} \end{array} \)
(IV), daher

Monotonie: nungerade
\( \begin{array}{l} a_{2 n+1}>a_{2 n+3} \\ (1 A) \cdot a_{1} 6 b>0,625 \\ (I S): a_{2 n+3}>a_{2 n+5} \\ \frac{1}{1+a_{2 n+2}}>1 \frac{1}{a_{2 n+4}} \\ \frac{1}{1+\frac{1}{a} \cdot a_{2 n+1}}>1+\frac{1}{1+\frac{1}{n} a_{2 n+3}} \\ \frac{1}{\frac{a_{2 n+1}+2}{a_{2 n+1}+1}>\frac{1}{a_{2 n+3}+2}}=\frac{a_{2 n+1}+1}{a_{2 n+1}+2}>\frac{a_{2 n+3}+1}{a_{2 n+3}+2} \end{array} \)
(IV) daher

Weiß zufällig jemand wie ich beweise, dass die Folge (an) Cauchy ist? Dass dann im Endeffekt bewiesen ist, dass der Grenzwert der gleiche für die ungeraden und geraden Teilfolgen ist.

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Nach meinen Berechnungen gilt \(\lvert a_n-x\rvert<x^n\) für alle \(n\ge1\),
wobei \(x\) die positive Lösung der Gleichung \(x^2-x+1=0\) ist.

Ich habs nun hinbekommen. Danke!

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