Alle Extremstellen in einem bestimmten Intervall angeben

Question

Aufgabe:

2. Geben sie alle Extremstellen der Funktion im Intervall [-5 ; 4 ] an.

Funktion: 19/3 * x³ - 3x² - 2x - 4/3

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe versucht mehrmals mit verschiedenen Methoden zu lösen, aber hänge dann irgendwie immer durch und verstehe nicht so ganz was mir folgende Ansätze/Lösungen bringen sollen: Danke für die Erklärungen im voraus :)

Text erkannt:

Geben Sie alle Extremstellen der Funktion im Intervall $[-5 ; 4]$ an ! globale Extrema an den intervalgrenzen
steigend: $x<-0,2 \quad(-\infty \mid-0,2)$
( $\hat{1}$ ] $]$
fallend: - $0,2<x<0,5$ ]- $-\infty \mid \cdot 0,2[$
steigend: $x>0,5$

Comments

https://studyflix.de/mathematik/kurvendiskussion-3076

Answer 1

Mehrmals? Und mit verschiedenen Methoden? Ich weiß ja nicht, was du gemacht hast, aber das hast du ja auch nicht erläutert. Das angegebene Monotonieverhalten stimmt zumindest bis auf Rundungsfehler an den Grenzen. Wo liegt jetzt die Schwierigkeit? Weißt du, wie man Extrema bestimmt?

Extremstellen bestimmt man, indem man die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt und dann mit der hinreichenden Bedingung überprüft, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Weiterhin müssen die Funktionswerte an den Intervallgrenzen $-5$ und $4$ geprüft werden, da dort globale Extrema vorliegen könnten.

Bitte erläutere konkret, was nun das Problem ist.

Comments

Ich weiss was Extremstellen sind, ich erkläre nur einem Freund Mathematik ohne Abitur jemals selber gemacht zu haben. Kurz gesagt ich muss mir den Spass erstmal selbst beibringen. Ich konnte alle da vorigen Aufgaben ohne Probleme lösen und erklären, aber die Ansätze hier haben mich einfach verwirrt. Ich hab die Extremstellen bereits ausgerechnet, aber die Aufgabe hat jetzt verlangt das eben in einem bestimmten Intervall zu machen und ich musste lernen was ein lokaler und globaler Punkt ist.
Ich habe im Internet keine vergleichbare Aufgabe gefunden oder war einfach zu dumm richtig zu googeln wer weiss.

Deeswegen, wie ich Extrema ausrechnet weiss ich, wie prüf ich den globale Extrema? bzw an den Intervallgrenzen wie du das gesagt hast.

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lokal = an einem festgelegten Ort, in einem bestimmten Bereich,

global = überall, auf der ganzen Welt, auf einer ganzen Zahlenmenge.

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Deeswegen, wie ich Extrema ausrechnet weiss ich, wie prüf ich den globale Extrema? bzw an den Intervallgrenzen wie du das gesagt hast.

Setze die Intervallgrenzen ein und vergleichw die y-Werte. Sind diese größer/kleiner als jene der lokalen Extrema, so hast du an den Grenzen jeweils globale Extrema.

Ein globales Extremum ist der größte/kleinste Wert in dem genannten Intervall. Eigentlich findet man da auch genug Beispiele im Internet (auch mit Abbildungen), die den Unterschied zwischen global und lokal gut zeigen.

Answer 2

Du hast die Extremstellen nur arg gerundet.

f(x) = 19/3·x³ - 3·x² - 2·x - 4/3

f'(x) = 19·x² - 6·x - 2 = 0 --> x = 3/19 - √47/19 ≈ -0.2029 ∨ x = 3/19 + √47/19 ≈ 0.5187

f(-5) = - 858 → TP

f(3/19 - √47/19) = 94·√47/1083 - 1840/1083 ≈ -1.1039 --> HP

f(3/19 + √47/19) = - 94·√47/1083 - 1840/1083 ≈ -2.2940 → TP

f(4) = 348 → HP

Ich hätte hier auch noch die y-Koordinaten berechnet. Das brauchtest du aber nicht machen. Allerdings spare ich mir hier durch die y-Koordinaten auch die hinreichende Bedingung.

Comments

Hab tatsächlich nicht ich gerunded :D
Ich weiss das der HP [-0,203 |-1,104 ] und TP [0,519 | -2,294 ] ist,

aber ich habe einfach kein Plan wie ich ab da weiter voranschreiten soll, schließlich soll ich die globalen Extrema herausfinden und das ja nur im begrenzten Intervall.

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Dann berechne wie ich die y-Koordinaten an den stellen bei denen die erste Ableitung gleich null wird und auch an den Randstellen. Der höchste y-Wert ist hier das globale Maximum und der minimale y-Wert ist das globale Minimum.