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Wie berechnet man das Integral 01sin(ln(x))ln(x)dx\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin(\ln(x))}{\ln(x)} dx

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Zunächst die Frage: Sollst Du den Wert des Integral berechnen oder ist die Aufgabe, die Existenz dieses Integrals zu zeigen?

Woher stammt die Aufgabe? Muss das exakt sein oder darf es numerisch genähert werden?

Der Graph kann irritieren. Du weißt wie sich der Graph für x → 0 verhält oder?

blob.png

Poste mal die Aufgabenstellung vollständig im Original.

Substituiere x=eux=e^{-u}. Dann bekommst du

0sinuueudu\int_0^\infty\frac{\sin u}u e^{-u}\, du

Dafür gibt es eine Menge Techniken (Guckst du hier).

Sollst Du den Wert des Integral berechnen

Ja.

Muss das exakt sein

Ja.

Du weißt wie sich der Graph für x → 0 verhält oder?

Ja.

Poste mal die Aufgabenstellung vollständig im Original.

So wie geschrieben.

Danke dafür.

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Ich versuchs mal:


01sin(lnx)lnx  dxTaylorreihe vom Sinus=01lnx(lnx)33!+(lnx)55!(lnx)77!+lnx  dxku¨rzen=01(1(lnx)23!+(lnx)45!(lnx)67!+)  dxSummenregel=01dx13!01(lnx)2  dx+15!01(lnx)4  dx17!01(lnx)6  dx+partielle Integration=113!2+15!2417!720+ausrechnen=113+1517+Leibnizreihe=π4\begin{aligned} & \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin(\ln x)}{\ln x} \; dx &&\Bigm| \text{Taylorreihe vom Sinus} \\\\ &= \int\limits_{0}^{1} \frac{\ln x -\frac{(\ln x)^3}{3!}+\frac{(\ln x)^5}{5!}-\frac{(\ln x)^7}{7!}+\dots}{\ln x} \; dx &&\Bigm| \text{kürzen} \\\\ &= \int\limits_{0}^{1} \left(1 -\frac{(\ln x)^2}{3!}+\frac{(\ln x)^4}{5!}-\frac{(\ln x)^6}{7!}+\dots \right) \; dx &&\Bigm| \text{Summenregel} \\\\ &= \int\limits_{0}^{1} dx - \frac{1}{3!}\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^2 \; dx + \frac{1}{5!}\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^4 \; dx - \frac{1}{7!}\int\limits_{0}^{1} (\ln x)^6 \; dx + \dots &&\Bigm| \text{partielle Integration} \\\\ &= 1 - \frac{1}{3!}\cdot 2 + \frac{1}{5!}\cdot 24 - \frac{1}{7!}\cdot 720 + \dots &&\Bigm| \text{ausrechnen} \\\\ &= 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots &&\Bigm| \text{Leibnizreihe} \\\\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}

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