0 Daumen
960 Aufrufe

Ein Kartenspiel besteht aus 52 Karten, wobei von jeder der vier Farben (Herz, Karo, Kreuz, Pik) gleich viele Karten enthalten sind. Jemand erhält zufällig vier Karten.

 

A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person mindestens 1 Herz Karte erhält?

Die Wahrscheinlichkeit kein Herz zu bekommen liegt ja bei 39 / 52. Kann ich dann für die Wahrscheinlich, dass ich mindestens 1 Herz bekomme '1 - p(kein Herz)', sprich 1 - (39 / 52)4 rechnen?

 

B) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person genau 3 Herz Karten erhält?

Wären das dann 13 / 523 * 39 / 52 * (4! / 3!) oder bin ich damit auf den Holzweg?

 

Bei mir ist das schon einige Jahre her und meinem Sohn ist gerade so etwas untergekommen, er kennt sich nicht wirklich aus und hat mich nach Hilfe gefragt. Peinlich wie es ist, könnte ich ihm jedoch auch nicht unbedingt weiterhelfen..

von

2 Antworten

0 Daumen

Ein Kartenspiel besteht aus 52 Karten, wobei von jeder der vier Farben (Herz, Karo, Kreuz, Pik) gleich viele Karten enthalten sind. Jemand erhält zufällig vier Karten.

A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person mindestens 1 Herz Karte erhält?

Die Wahrscheinlichkeit kein Herz zu bekommen liegt ja bei 39 / 52. Kann ich dann für die Wahrscheinlich, dass ich mindestens 1 Herz bekomme '1 - p(kein Herz)', sprich 1 - (39 / 52)4 rechnen?

fast gut!

B) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person genau 3 Herz Karten erhält?

Wären das dann (13 / 52)3 * 39 / 52 * (4 tief 3) oder bin ich damit auf den Holzweg?

Nun musst du noch einberechnen, dass ohne Zurücklegen gezogen wird. Meine Antwort wäre daher

A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person mindestens 1 Herz Karte erhält?

1 - 39/52 * 38/51 * 37/50 * 36/49 = 0.69618247 = 69.618247%

B) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person genau 3 Herz Karten erhält?

13/52 * 12/51 * 11/50 * 39/49 * (4 tief 3) = 13/52 * 12/51 * 11/50 * 39/49 * 4 = 0.041200480 = 4,1200480%

von 145 k
Erstmal lieben Dank für deine Antwort. :)

Ach, diese hypergeometrischen Verteilungen, binomial war mir schon immer lieber. *gg*

Da du den Binomialkoeffizienten umgebessert hast, meiner war schon richtig, nur bereits etwas vereinfacht, oder?

MfG

Da du den Binomialkoeffizienten umgebessert hast, meiner war schon richtig, nur bereits etwas vereinfacht, oder?

Ja. 

0 Daumen

A) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person mindestens 1 Herz Karte erhält?

Kann ich dann für die Wahrscheinlich, dass ich mindestens 1 Herz bekomme '1 - p(kein Herz)', sprich 1 - (39 / 52)4 rechnen?

Das blaue ist richtig, das rote jedoch nicht, denn das würde nur gelten, wenn mit Zurücklegen gezogen würde, wenn jemand also die vier Karten jeweils aus einem vollständigen Blatt bekäme. Hier aber bekommt jemand nacheinander vier Karten aus demselben Blatt, es legt also Ziehen ohne Zurücklegen vor.

Daher muss man hier mit der hypergeometrischen Verteilung rechnen, also

$$P(X=k)=h(k|N;M;n)=\frac { \left( \begin{matrix} M \\ k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} N-M \\ n-k \end{matrix} \right)  }{ \left( \begin{matrix} N \\ n \end{matrix} \right)  }$$

mit

k = 0 (Anzahl Erfolge, also erhaltene Herzkarten)
N = 52 (Anzahl aller Karten)
M = 13 (Anzahl aller Herzkarten)
n = 4 (Anzahl erhaltener Karten)

also:

$$P(X=0)=h(0|52;13;4)=\frac { \left( \begin{matrix} 13 \\ 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 39 \\ 4 \end{matrix} \right)  }{ \left( \begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix} \right)  }=0,30381$$

und somit:

P ("mindestens eine Herzkarte") = 1 - P("keine Herzkarte")

= 1 - 0,30381 = 0,69619 ≈ 70 %

 

B) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person genau 3 Herz Karten erhält?

Hier ist:

k = 3 (Anzahl Erfolge, also erhaltene Herzkarten)
N = 52 (Anzahl aller Karten)
M = 13 (Anzahl aller Herzkarten)
n = 4 (Anzahl erhaltener Karten)

also:

$$P(X=3)=h(3|52;13;4)=\frac { \left( \begin{matrix} 13 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 39 \\ 1 \end{matrix} \right)  }{ \left( \begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix} \right)  }=0,04120$$

und somit:

P ("genau drei Herzkarten") = 0,04120 ≈ 4,1 %

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...