Damit die Matrix die Gleichung erfüllt darf sie nicht vollen Rang haben, warum?

Question

Verständnisfrage zu Thema Eigenwerte (-vektoren).

Das Produkt (A-λ*I)*v muss dem Nullvektor entsprechen. Dies ist nur der Fall, wenn v der Nullvektor ist, was er aber nicht sein darf oder, wenn die Matrix (A-λ*I) nicht vollen Rang hat. Warum erhält man den Nullvektor aus (A-λ*I)*v, wenn (A-λ*I) nicht vollen Rang hat?

VIelen Dank für eine Antwort.

Comments

Du wirfst etwas durcheinander, deine Aussage stimmt nicht. Gesucht werden Vektoren, die diese Gleichung bei gegebener Matrix erfüllen, nicht umgekehrt.

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Deshalb muss für folgende Matrix gelten

Gib die Matrix an, die gefolgt ist.

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Ein Eigenvektor v einer Matrix A zum Eigenwert λ erfüllt

A*v = λ*v

oder umgeschrieben

(A-λ*I)*v = 0

wobei I die Einheitsmatrix passender Größe sei. Somit liegen die Eigenvektoren zum Eigenwert λ im Kern der Matrix A-λ*I.

Damit die Matrix die Gleichung erfüllt

Die Matrix erfüllt keine bestimmte Gleichung. A-λ*I muss nicht die Nullmatrix sein.

darf sie nicht vollen Rang haben,

Du meinst wohl: Wenn λ ein Eigenwert von A ist, dann hat A-λ*I keinen vollen Rang. (Die Umkehrung gilt auch)

warum?

https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz

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Mir geht es hier erst um die Suche der Eigenwerte, um anschließend mittels Gauß den Eigenvektor zu finden.

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Dazu sucht man die Lösungen des charakteristischen Polynoms.

Lies Deine Vorlesungsunterlagen noch mal in Ruhe durch.

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Ja, werde ich machen. Ich probiere mich nochmal besser auszudrücken. Mit det(A-λ*I) = 0 findet man das charakteristische Polynom. det(A-λ*I) = 0, wendet man an, damit (A-λ*I) nicht vollen Rang besitzt. Warum darf (A-λ*I) nicht vollen Rang besitzen, damit (A-λ*I)*v = 0 ist?

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Eine quadratische Matrix M hat einen vollen Rang, wenn detM ≠ 0 ist und umgekehrt, wenn detM = 0 dann hat M keinen vollen Rang.

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Ich probiere mich nochmal besser auszudrücken.

Brauchst du nicht. Seit deiner Überarbeitung vor 18 Minuten ist deine Frage verständlich. Ich habe deshalb auch meine Antwort angepasst.

Answer 1

Wenn die Matrix (A-λ*I) vollen Rang hat, dann ist

        (A-λ*I) v ≠ 0

für jedes v ≠ 0. Das liegt am Rangsatz

        dim(V) = dim(Kern φ) + dim(Bild φ)

für jede lineare Abbildung φ: V → W. Wäre nämlich

        φ(v) = 0

für ein v≠0, dann wäre

        dim(Kern φ) > 0

und somit

        Rang(φ) = dim(Bild φ) < dim(V).

Warum erhält man den Nullvektor aus (A-λ*I)*v, wenn (A-λ*I) nicht vollen Rang hat?

Man kann den Nullvektor aus (A-λ*I)*v erhalten wenn (A-λ*I) nicht vollen Rang hat. Nämlich wenn v=0 ist oder v Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist.

Answer 2

Ohne Rangsatz:

Betrachte die Eigenwertgleichung \(Av=\lambda v\). Wir interessieren uns für Eigenwerte \(\lambda\) und den zugehörigen Eigenvektoren \(v\neq 0\). Der Fall \(v=0\) löst die Gleichung für jedes \(\lambda\) und ist trivial und daher nicht weiter interessant. Ein Umstellen der Gleichung liefert

\((A-\lambda I)v=0\) (Umstellen und \(v\) ausklammern).

Ist \(v\) nun also ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\), so muss dieser das homogene Gleichungssystem lösen. Besitzt die Matrix \(B=A-\lambda I\) nun allerdings vollen Rang, so ist die Lösung dieses LGS eindeutig mit \(v=B^{-1}\cdot 0=0\) (da \(B\) vollen Rang hat, ist \(B\) invertierbar).

Wir landen also im uninteressanten Fall \(v=0\). Also fordern wir daher, dass \(B\) nicht invertierbar ist und somit \(\det(B)\neq 0\). Das ist aber gleichbedeutend damit, dass \(B\) eben nicht vollen Rang besitzt. Aber auch dann ist \(v=0\) noch immer eine Lösung des Gleichungssystem, aber nach wie vor nicht interessant.